ВАРІАЦІЯ (КОЛИВАННЯ) ОЗНАКИ

В результаті вивчення глави студенти повинні:

  • знати: сутність визначення показників варіації (коливання) ознаки;
  • вміти : визначати розмах варіації (коливання) ознаки;
  • володіти : методами розрахунку показників варіації, правилами складання дисперсій і вимірювання тісноти зв'язків між ознаками.

Показники варіації

Середні величини дають узагальнюючу характеристику ознак досліджуваної сукупності, але при цьому не розкривають будову самої сукупності, а саме - розташування варіанти досліджуваного ознаки щодо центру розподілу.

У двох різних сукупностях середня величина ознаки може мати однакове значення, але, наприклад, в першій сукупності варіанти ознаки відрізняються від середньої величини незначно (тобто має місце мала варіація), а в другій - значно (і це значить, що варіація досить велика).

Тому ступінь варіації відіграє значиму роль в рамках характеристики надійності середньої величини ознак статистичної сукупності. Зокрема, якщо індивідуальні значення в кожну ознаку мають незначні відмінності один від одного, то середня величина в даному випадку буде досить показовою характеристикою властивостей даної сукупності. Навпаки, якщо в ряду розподілу спостерігається значне розсіювання індивідуальних значень (варіант), то середня величина не буде надійної характеристикою досліджуваної сукупності, відповідно, застосування даної середньої величини на практиці буде обмеженим.

У статистиці для вимірювання варіації (або коливання) ознаки можуть застосовуватися як абсолютні, так і відносні показники. Серед таких показників варто виділити:

  • 1) значення розмаху варіації;
  • 2) значення середнього лінійного відхилення;
  • 3) значення відносного середнього лінійного відхилення;
  • 4) значення дисперсії і середнього квадратичного відхилення;
  • 5) значення коефіцієнта варіації.

З перерахованих вище показників абсолютними є: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія. Відповідно, відносних показників за все два - коефіцієнт варіації і відносне середнє лінійне відхилення.

Для визначення значення розмаху варіації ( R ) необхідно встановити різницю між максимальним (Х тах ) і мінімальним значеннями (X m jn) досліджуваного ознаки. Для цього використовують формулу

Значення розмаху варіації можна вважати найбільш простим показником, що характеризує коливання ознаки, але даний показник демонструє відхилення тільки крайніх значень ознаки, при цьому узагальнена характеристика варіації ознаки не може бути отримана з використанням формули (5.1).

Другий показник коливання ознаки - середнє лінійне відхилення (Д) - розраховується як середнє арифметичне абсолютних відхилень індивідуальних значень ознаки (X,) від середнього рівня цієї ознаки (X). При цьому середнє лінійне відхилення може бути розраховане як по згрупованим, так і по несгруппірованних даними.

Для розрахунку середнього лінійного відхилення по несгруппірованних даними (Aj) використовують наступну формулу:

Для розрахунку середнього лінійного відхилення по згрупованим даними (А 2 ):

У чисельнику формул (5.2) і (5.3) дають суми абсолютних відхилень без урахування знака, тобто по модулю. Пов'язано це з одним з властивостей середньої арифметичної величини, коли підсумовування різниць з урахуванням знака в результаті завжди дає нульове значення в чисельнику.

Третій показник коливання ознаки - відносне середнє лінійне відхилення (Д%) - розраховується як відношення середнього

лінійного відхилення (А) до значення середнього арифметичного (X) і виражається у відсотках:

Четвертий показник коливання ознаки - дисперсія (а 2 ) - розраховується як середня арифметична з квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середнього рівня. Дисперсія також може бути розрахована для згрупованих і несгруппірованних даних.

Для розрахунку дисперсії по песгруппіроваппим даними (ajf) використовують наступну формулу:

Середнє квадратичне відхилення (с) розраховується як корінь квадратний із значення дисперсії. Тут також розрахунок може бути проведений як для несгруіірованних, так і для згрупованих даних.

Для розрахунку середнього квадратичного відхилення по несгруппірован- ним даними (СТД:

Для розрахунку середнього квадратичного відхилення по згрупованих даних (gj):

Показник середнього квадратичного відхилення являє собою міру надійності середньої величини: чим менше значення середнього квадратичного відхилення, тим точніше середня арифметична характеризує середній рівень ознаки, і навпаки - чим більше значення середнього квадратичного відхилення, тим менш точно середня арифметична характеризує середній рівень ознаки. У загальному випадку показник середнього квадратичного відхилення являє собою середнє абсолютне відхилення індивідуальних значень ознаки від середнього рівня самого ознаки. Іншими словами, середнє відхилення є абсолютною мірою коливання ознаки, вимірюється середньоквадратичне відхилення в тих же одиницях, що і ознака.

П'ятий показник коливання ознаки - коефіцієнт варіації (V) - розраховується як відношення середнього квадратичного відхилення до значення середньої арифметичної:

Коефіцієнт варіації необхідно розглядати як вимірювач коливання ознаки і як вимірювач однорідності статистичної сукупності. Прийнято вважати, що якщо значення коефіцієнта варіації перевищує 33%, то статистична сукупність класифікується як недостатньо однорідна.

Для вивчення варіації (або коливання) ознаки найбільш широко застосовуються показники дисперсії та середнього квадратичного відхилення. Ці показники також є основоположними (фундаментальними) показниками теорії ймовірностей і математичної статистики. Крім цього, в рамках економічних досліджень середнє відхилення також використовують для розрахунку середнього рівня різних ризиків.

Розглянемо застосування показників варіації на практичному прикладі.

приклад 5.1

Є дані про розподіл робітників цеху в залежності від виробленого стажу. Необхідно розрахувати основні показники варіації, які були розглянуті вище.

п / п

стаж

робочих

чисельність

робочих,

чол.

Розрахункові величини

х г

і

V /

(х, х) 2

(Xj -X) 2

1

2

3

6

1,7

5,1

2,89

8,67

2

3

4

12

0,7

2,8

0,49

1,96

3

4

5

20

0,3

1,5

0,09

0,45

4

5

3

15

1,3

3,9

1,69

5,07

5

6

1

6

2,3

2,3

5,29

5,29

Разом

X

16

59

X

15,6

X

21,44

У таблиці вже проведена угруповання даних по основній ознаці. Тому перш за все необхідно обчислити розмах варіації за формулою (5.1). Розмах варіації, виходячи з даних таблиці, де основною ознакою (группіровочним ознакою) є стаж робітників, складе 4 роки (різниця між максимальним стажем робочого № 5 (6 років) і мінімальним стажем робочих № 1 (2 роки)).

Для подальших розрахунків необхідно знати середнє значення ознаки. Тому проводимо розрахунок середнього арифметичного значення:

Середнє лінійне відхилення, яке розраховується для згрупованих даних, в даному випадку складе

Тоді відносне середнє лінійне відхилення складе

Далі розраховуємо значення дисперсії і середнього квадратичного відхилення:

Відповідно, коефіцієнт варіації:

Отримані дані дозволяють нам зробити наступні висновки на підставі проведених розрахунків:

  • • середнє значення ознаки (вироблений стаж) становить 3,7 року, при цьому середнє значення ознаки практично дорівнює розмаху варіації (4 роки);
  • • середнє лінійне відхилення показує, що окремі значення ознаки відхиляються від його середнього значення на 0,98 років, або на 26,4%;
  • • розрахунок дисперсії і середнього квадратичного відхилення дозволяє зробити висновок, що коливання ознаки досить висока, відповідно, представлена в табл. 5.1 вибірка не є однорідною в повній мірі, оскільки коефіцієнт варіації перевищує 31%.

Показники варіації демонструють коливання основного ознаки і його окремих значень. Але, як ми вже говорили вище, у статистичній сукупності може бути кілька ознак і деякий безліч варіантів ознак, варіанти ознак можуть бути альтернативними, тобто взаємовиключними.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >