ПРИКЛАД ПОВНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ

дх) = ^ -

Х 2 +

Дослідження без застосування похідної

  • 1. Область визначення х (~ °°; + °°). Функція неперервна.
  • 2. Точка перетину з осями координат: Про (0; 0). Графік проходить через початок координат. Інших точок перетину з віссю Ох немає.
  • 3. Інтервали знакопостояіства функції:

хе (- °°; 0)

у < 0

Графік розташований під віссю Ох

хе (0; + оо)

у> 0

Графік розташований над віссю Ох

Результати зобразимо схематично, відомстив зарубками ті частини площині, в яких графіка немає (рис. 7.7).

Мал. 7.7

4. Функція непарна: f (-x) = -f (x). Графік симетричний відносно початку координат.

5. Поведінка функції на кордоні області визначення, тобто при я - "± °°:

Вісь абсцис є горизонтальною асимптотой графіка. Вертикальних і похилих асимптот немає.

Дослідження за допомогою похідної першого порядку

Диференціюючи функцію у = / (я):

1. Знаходимо нулі похідної: / '(я) = 0.

Мал. 7.8

2. Інтервали знакопостоянства похідною (інтервали монотонності функції).

хе (- °°; -1)

/ г) < 0

f (x) убуває

хе (-1; 1)

f '(x)> 0

f (x) зростає

хе (1; + °°)

fx) < 0

/(.г) убуває

Зобразимо ці результати схематично (рис. 7.8):

3. Точки екстремуму.

При х = -1 функція має мінімум: у т j "= -1.

При х = функція має максимум: у т ах = 1.

У точках екстремуму дотична до графіка горизонтальними.

4. Область значень функції: f (x) e [-1; 1].

1. Нулі похідною другого порядку: fx) = 0.

Дослідження за допомогою похідної другого порядку

Диференціюючи похідну fx):

Мал. 7.9

2. Інтервали знакопостоянства похідною другого порядку (інтервали опуклості або угнутості графіка функції).

хе (- <*>; - V3)

Г (Х) < 0

Графік функції опуклий

хе (-> / 3; 0)

Г (Х)> 0

Графік функції увігнутий

.р е (0; л / 3)

/ * (х) < 0

Графік функції опуклий

хе (л / 3; + °°)

/ '(*)> Про

Графік функції увігнутий

Результати дослідження зобразимо схематично (рис. 7.9):

3. Точки перегину при f * (x) = 0:

У точках перегину визначаємо кутові коефіцієнти дотичних:

і проводимо дотичні.

Підсумком проведеного аналітичного дослідження є побудований за знайденим п'яти характерних точках (з урахуванням асимптоти) графік функції, зображений на рис. 7.10 (з дотичними в кожній з цих точок).

Мал. 7.10

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >