ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ПУАССОНА

У системах зв'язку стикаються з розподілом випадкових цілочисельних дискретних величин, що представляють собою послідовність точок, розташованих випадковим чином. Такі точки можуть відповідати різним подіям, наприклад моментів часу надходження заявок або настання відмов в системі та ін. Точковий випадковий потік може зустрічатися і в завданні розподілу викликів на телефонній станції протягом доби. Для кожного інтервалу Т шляхом спостережень можна встановити середнє число викликів XT (математичне очікування). Коефіцієнт пропорційності X характеризує інтенсивність телефонних викликів (середнє число викликів в одиницю часу). Імовірність появи п викликів Р т (п) На деякому інтервалі часу (О, Т) найчастіше визначається розподілом Пуассона 1

Такий розподіл задають тільки параметром закону Пуассона X - деякою позитивною величиною, значення якої дорівнює середньому значенню випадкових величин розподілу і одночасно одно дисперсії розподілу. Для розподілу Пуассона D u = X , а п = у / Х.

Сума всіх щільності ймовірностей для розподілу Пуассона

(тут враховано, що в дужках записано розкладання в ряд Тейлора функції е х при х = X).

Графічно закон розподілу Пуассона зручно представляти многоугольником ( полігоном ) - ламаною лінією, що з'єднує точки з координатами (п, Pj). Па рис. 3.8 наведені багатокутники для випадкової величини X, що має розподіл Пуассона з параметром X = 0,5; Г, 2; 3,5; 5.

Умови справедливості розподілу Пуассона досить прості.

Розподіл Пуассона для ряду параметрів X

Мал. 3.8 . Розподіл Пуассона для ряду параметрів X

  • 1 Симеон Дені Пуассон (5. Poisson, 1781 - 1840) - видатний французький математик, механік і фізик.
  • 1. Випадкова величина може приймати тільки нульові і цілі позитивні значення (як, наприклад, число відмов апаратури або телефонних дзвінків за певний інтервал часу).
  • 2. Імовірність окремого події на нескінченно малому інтервалі часу рахунки подій пропорційна величині цього інтервалу і при його прагненні до нуля також прагне до нуля як нескінченно мала першого порядку, а ймовірності подій більш високої кратності (дві події і більше) прагнуть до нуля як нескінченно малі більш високих порядків.
  • 3. Події в ненерекривающіхся інтервалах часу їх рахунки статистично незалежні.

приклад 3.1

Приклад 3.1. Знайдемо щільність ймовірності, математичне сподівання, дисперсію, кореляційний функцію і спектральну щільність випадкового процесу U (t) виду телеграфного сигналу, реалізація якого u (t) показана на рис. 3.9.

Реалізація випадкового телеграфного сигналу

Мал. 3.9. Реалізація випадкового телеграфного сигналу

Рішення

У теорії зв'язку таким телеграфним сигналом називають випадковий процес, реалізації u (t) якого приймають значення рівнів? / = + 1 та? / = - 1, причому «перекидання» рівня відбуваються у випадкові моменти часу і число п «перекидань» рівня, що відбуваються за деякий період Г, є випадковою величиною з дискретним розподілом ймовірності, описуваних законом Пуассона.

Для цього випадкового процесу в співвідношенні (3.10) параметр X - коефіцієнт, що визначає середню частоту виникнення зміни полярності сигналу в одиницю часу; Р ^ п) - ймовірність того, що за період Т відбудеться п змін полярності; при цьому Р (1) = Р (-1) = 0,5.

Скачки рівня сигналу відбуваються у випадкові моменти часу, тому аналітично створити одиничний реалізацію даного випадкового процесу виявляється досить важко. Конкретну реалізацію випадкового процесу зручно задати нескінченним безліччю випадкових величин ± 1 - моментів зміни рівня, а характеристики випадкового процесу визначати їх статистичними властивостями.

  • 1. Щільність ймовірності Р (п) = Р ( 1) + Р (-1) = 1.
  • 2. Математичне сподівання т і = 0, що очевидно з графіка реалізації.
  • 3. Дисперсія

4. При обчисленні кореляційної функції телеграфного сигналу кожний окремий твір u k (t) u k (t + т) дорівнює або U 2 = 1, або -if = -1 залежно від збігу або розбіжності знаків u k (t) і u k (t + т), причому ймовірність значення кореляційної функції U 2 = 1 дорівнює сумі «парних» ймовірностей Р ( 0) + Р (2) + Р ( 4) + а ймовірність кореляційної функції -U 2 = -1

визначають сумою «непарних» ймовірностей Р (1) + Р (3) + .... Отже,

Параметр X повністю визначає кореляційні та спектральні властивості телеграфного сигналу, наведені на рис. 3.10, а. При X -? 0 характеристики сигналу наближаються до характеристик постійної складової, при X - * оо - до характеристик білого шуму.

Характеристики телеграфного сигналу

Мал. 3.10. Характеристики телеграфного сигналу:

а - функція кореляції; б - спектральна щільність

Можна показати, що чим більше X, тим менше час кореляції. При X - * 0 процес вироджується в детермінований (прагне до постійної складової). При X - * оо процес вироджується в білий шум з некоррелірованнимі отсчетами на сусідніх точках часу.

5. Спектральна щільність телеграфного сигналу (рис. 3.10, б)

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >