ВИЗНАЧЕННЯ ПОНЯТТЯ МОДЕЛІ

Перехід від формальної теорії до її моделі є завершальною стадією вирішення деякої проблеми математичними засобами. Сутність математичного підходу до вирішення реальних завдань, до якої б галузі знань вони не ставилися, полягає в наступному:

  • - спочатку об'єкт дослідження або конкретна реальна проблема формалізується, т. Е. Підбирається формальна система, в якій затвердження (гіпотези) про те чи іншому рішенні поставленого завдання представляються у вигляді формул,
  • - потім формули, відповідні перевіряється гіпотезам, аналізуються на предмет їх доказовою засобами формальної системи; іншими словами, обгрунтовується рішення проблеми засобами формальної системи; якщо ж рішення, які підлягають обґрунтуванню, заздалегідь не відомо, то воно відшукується і обґрунтовується також засобами формальної системи,
  • - нарешті, за допомогою інтерпретації символів формальної системи здійснюється зворотний перехід від формалізованої постановки задачі до її вихідної постановці, яка причетна до реального світу, т. Е., Строго кажучи, будується її реальна модель. Завдяки інтерпретації доказових формул (теорем) формальної системи з'ясовується змістовний сенс істинного вирішення поставленої проблеми. Тим самим завершується процес вирішення завдання математичними засобами.

При з'ясуванні змістовного сенсу формальної теорії визначальними є наступні два чинники:

  • - яким символам формальної системи що відповідає в реальній предметній області, до якої належить розв'язувана проблема,
  • - за якими правилами формули формальної системи переводяться в твердження про властивості об'єктів предметної області.

У понятті «інтерпретація» враховуються обидва ці чинника. Нехай М = <Т, Р, А, В> - деяка формальна теорія, a D - непорожня множина об'єктів (реальних або абстрактних), які мають відношення до розв'язуваної задачі. Безліч D називається предметною областю.

Визначення. Інтерпретацією формальної теорії М називається таке відображення ср: Т-> 0, при якому будь-який аксіомі теорії М відповідає істинне твердження про властивості або взаємозв'язках об'єктів з безлічі D, а кожній формулі F цієї теорії відповідає певний істинне або помилкове твердження про властивості або взаємозв'язках об'єктів з безлічі D.

Введемо позначення: 1 - значення істинності «істина», 0 - значення істинності «брехня». Запис (p (F) = 1 означає, що формула ^ інтерпретується за допомогою інтерпретації ф в істинне твердження про властивості або взаємозв'язках об'єктів з безлічі D. Запис ц> (Е) = 0 означає, що формула F інтерпретується за допомогою інтерпретації ф в помилкове твердження про властивості або взаємозв'язках об'єктів з безлічі D. Якщо ( J - яке-небудь безліч формул, то запис ф (^ 7 ~) = 1 означає той факт, що для будь-якої формули FsF виконується ф (F) = 1. Аналогічно визначається рівність ф (^ Г) = 0. Інтерпретацію ф теорії М називають також моделлю цієї теорії.

Розглянемо приклад моделі неевклідової геометрії на площині, яка створена німецьким математиком Ф. Клейном і для якої предметною областю є евклідова геометрія на площині. Евклідова геометрія розглядається як формальна система з гильбертова системою аксіом. Неевклидова геометрія також розглядається як формальна система, єдине (!) Відмінність якої від геометрії Евкліда полягає в заміні евклідової аксіоми про паралельних на аксіому про паралельні Лобачевського або на аксіому про паралельних Рімана. У першому випадку неевклідову геометрію називають геометрією Лобачевського, в другому - геометрією Рімана. В геометрії Рімана аксіома про паралельних формулюється в такий спосіб.

Аксіома про паралельні Рімана. Якщо в площині задані пряма і точка поза нею, то в цій площині не існує жодної прямої, що проходить через задану точку паралельно заданій прямій.

З неї можна зробити висновок про те, що в геометрії Рімана паралельних прямих немає взагалі.

Нижче будується модель геометрії Лобачевського на площині. У ній аксіома про паралельних формулюється так.

Аксіома про паралельні Лобачевського. Якщо в площині задані пряма і точка поза нею, то в цій площині існує більше однієї прямої, що проходить через задану точку паралельно заданій прямій.

З неї можна зробити висновок про те, що в геометрії Лобачевського на площині для довільної прямої можна провести через задану точку, що не належить цій прямій, нескінченно багато прямих, паралельних даній прямій.

Сутність моделі геометрії Лобачевського полягає в наступному. Нехай С - деяке коло, розташований в евклідової площини. В геометрії Лобачевського площиною назвемо внутрішність цього кола (рис. 13), тобто точки, що лежать на колі, цій площині не належать. Той факт, що точки окружності не належать площині Лобачевського (колі), відзначений на рис. 13 пунктиром. Прямими назвемо хорди цього кола, причому кінці хорд, природно, не розглядаються, т. Е. Не належать цим прямим в площині Лобачевського. Цей факт відзначений виділенням решт хорд. Нарешті, точками назвемо внутрішні точки кола. Для таких точок, прямих і площини виконуються всі аксіоми геометрії Лобачевського на площині, в тому числі аксіома про паралельні Лобачевського.

Мал. 13

Дійсно, через точку Р, що не належить прямій а, проходить нескінченно багато прямих, які не мають спільних точок із заданою прямою а. Виділені прямі - це крайні положення паралельних прямих.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >