ОПИС АЛФАВІТУ ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ

У алфавіті логіки предикатів константи служать для позначення конкретних значень змінних, наприклад: для позначення точки на площині з координатами (0; 0) або відрізка на площині з кінцями в точках (-1; 2) і (3; 7), або прямокутного трикутника зі сторонами довжиною 3, 4 і 5 см.

Змінні служать для позначення об'єктів предметної області. Наприклад, в геометрії змінні можуть позначати точки, відрізки, трикутники і т. Д.

Функціональні символи використовуються для позначення правил освіти одних об'єктів предметної області з інших. Наприклад, функціональний символ sin позначає правило обчислення нового числа sin (x) за величиною кутах. Функціональним символом /, наприклад, можна позначити правило, ставить у відповідність кожній людині Г його батька. В такому випадку запис / (?) Позначає батька людини t. Звернемо увагу, що для функціональних символів завжди використовуються малі латинські букви на відміну від предикатних символів, для яких завжди використовуються прописні (заголовні) букви латинського алфавіту.

Предикатні символи застосовуються для позначення властивостей об'єктів предметної області або для позначення відносин між цими об'єктами. Наприклад, якщо предикатний символ Р позначає властивість «бути дипломатом», то предикат Р (х) означає «х є дипломатом». Або, якщо Q позначає відношення «проживати в одному місті», то предикат Q (u, v) означає «хтось і проживає в одному місті з у».

Пропозіціональние символи служать для позначення висловлювань (найпростіших тверджень про властивості і взаємозв'язки конкретних об'єктів предметної області). Висловлювання не містять змінних. Тому можна вважати, що пропозіціональние символи служать для позначення знань про конкретні об'єкти предметної області. Якщо в предиката Р (х) - «х є дипломатом» і Q (u, v) - «хтось і проживає в одному місті з у» підставити константу а = «Андрій» замість змінної х, підставити константи b = «Олексій» і з = «Олександр» замість змінних і і у відповідно, то вийдуть висловлювання Р (а) ( «Андрій є дипломатом») і Q (b, c) ( «Олексій проживає в одному місті з Олександром»), які можна позначити пропозіціональнимі символами відповідно р = «Андрій є дипломатом» і q = «Олексій проживає в одному місті з Олександром». Зауважимо, що тут під ім'ям «Андрій» маються на увазі не всі люди з цим ім'ям, а тільки якийсь один з них. Так само і з іншими іменами.

Логічні зв'язки позначають операції, що дозволяють з одних тверджень про об'єкти предметної області конструювати нові, більш складні, затвердження з використанням негативної частки «не», спілок «і», «або», «якщо ... то ...» і словосполучення « тоді і тільки тоді, коли ». Наприклад, ознака подібності трикутників:

два трикутника подібні тоді і тільки тоді, коли два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника - походить від двох тверджень

р = «два трикутника подібні»

і q = «два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника»

з використанням словосполучення «тоді і тільки тоді, коли». Замінюючи це словосполучення логічною зв'язкою = (еквівалентність), ознака подібності трикутників можна спрощено представити формулою логіки предикатів p = q.

Квантор спільності V і квантор існування 3 використовуються для позначення фраз «для всіх» і «існує» відповідно і їх синонімів, що пов'язують змінні в твердженнях про об'єкти предметної області. Наприклад, в таких:

Всі їли - зелені.

Серед усіх чисел є невід'ємні числа.

Будь-яка акція є цінним папером.

Останнє твердження можна записати у вигляді формули логіки предикатів Vx (Л (х) -еС (х)), якщо предикат А {х) означає «х є акцією», а предикат С (х) означає «х - цінний папір».

Нарешті, символ 0 (значення істинності «брехня») і символ 1 (значення істинності «істина») служать для позначення відповідно будь-якого помилкового і будь-якого справжнього твердження про об'єкти предметної області.

У логіку предикатів введемо нові логічні зв'язки л (сполучення), v (диз'юнкція), = (еквівалентність) точно так же, як це робиться в логіці висловлювань. Квантор існування 3 вводиться в логіку предикатів через квантор спільності так: формула 3 tB (t) служить для позначення формули -> (Vr-i5 (/)).

У назві формальної системи «логіка предикатів першого порядку» фраза «... першого порядку» означає, що квантором спільності можна пов'язувати тільки змінні. Квантор спільності можна застосовувати до предикатним символам. У численні предикатів другого порядку квантор спільності допускається застосовувати також до предикатним символам. У численні предикатів вищого порядку квантор спільності може застосовуватися до предикатним символам, що позначає предикати, аргументами яких є інші предикати, і т.д.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >