РІШЕННЯ ІГОР 2ХЛ І ТХ 2

Біматричних гри розмірності 2 хп і ТХ2 мають просту геометричну інтерпретацію. Розглянемо спочатку гру розмірності 2x2.

Приклад 2.11. Знайти рівновагу в змішаних стратегіях (седловую точку) і ціну в матричної грі:

Рішення

Очевидно, гра відноситься до класу неповністю певних ігор. У ній немає сідлової точки в чистих стратегіях.

Розглянемо рішення в змішаних стратегіях. Припустимо, що перший гравець вибирає рядок а з ймовірністю р і рядок b з ймовірністю 1 - р. Нехай другий гравець вибирає стовпець с. Тоді середній очікуваний виграш першого гравця дорівнює U {(p) = Ар + 2 (1 - р). Зобразимо на малюнку виграші при чистих стратегіях першого гравця відрізками АВ і А 2 В 2 (рис. 2.3). Тоді при змішаній стратегії (р; 1 - р) виграш буде дорівнює довжині відрізка CD.

Мал. 2.3

Дійсно, з подібності трикутників КО х В 2 і МВ, В 2 слід

Отже, відрізок CD i показує виграш першого гравця при виборі їм змішаної стратегії ( р; -р) і виборі другим гравцем стовпчика с.

Аналогічно можна побудувати малюнок для випадку, коли вибраний другим гравцем стовпчика d (рис. 2.4).

Мал. 2.4

Тепер з'єднаємо ці два креслення (рис. 2.5).

Мал. 2.5

До сих пір ми розглядали випадок, коли перший гравець вибирає змішану стратегію (р; 1 р ), а другий гравець - чисту стратегію (з або d). При цьому середній виграш першого гравця буде вимірюватися відрізком CD, при ході з і відрізком CD 2 при ході d.

Нехай тепер другий гравець вибирає змішану стратегію ( q ; 1 - q), тобто з ймовірністю q вибирається стовпець з і з імовірністю 1 - q вибирається стовпець d. Тоді виграш першого гравця буде вимірюватися відрізком CD, де точка D належить відрізку D, D 2 . Максиміна стратегія першого гравця говорить про те, що мінімальний (по різним стратегіям другого гравця, тобто по q) гарантований виграш першого гравця (ламана II, N В-,) повинен бути максимальний (по різним стратегіям першого гравця). Максимум ламаної B 2 NB 3 досягається в точці N, яка визначається з рівняння

Ціна гри становить Ар + 2 (- р) = 3,5.

Зауважимо, що координати точки N з прикладу 2.11 можна отримати також з виконання завдання лінійного програмування на максимум:

Аналогічним чином можна вирішувати матричні ігри 2 х п і т х 2.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >