РІВНОВАГА ТРЕМТЯЧОЮ РУКИ
Визначення 2.13. Нехай задана гра в нормальній формі G = (N, S i9 Uj, i = l, ..., N) . Розглянемо деякий профіль змішаних стратегій а = (р [1] , р 2 , р 3 , ..., р Л ) і послідовність {a w } профілів цілком змішаних стратегій [1] , що сходяться до а при я -> <*> . Якщо існує така послідовність цілком змішаних профілів стратегій про п = (Pi> Р ;, р ^ , .. p J J ), що сходиться до а при п-> «>, що стратегія р ' кожного гравця в профілі а є найкращим його відповіддю на стратегії інших гравців з профілю а", то такий профіль а називається рівновагою тремтячою руки.
Як і рівновагу Неша, рівновагу тремтячою руки існує в змішаному розширенні в будь-який некооперативного грі з кінцевими множинами стратегій гравців.
Приклад 2.27. Розглянемо біматричних гру
У цій грі є два рівноваги Неша: (а; с) і ( b ; d). Однак тільки (а; с) є рівновагою тремтячою руки.
Дійсно, припустимо, що перший гравець використовує змішану
стратегію
( для деякого п> 1. Це означає, що стратегія
а буде вибиратися з ймовірністю
і стратегія b буде вибиратися
з ймовірністю
. Очевидно, z n -> а при п -> <*>. Оцінимо виграші другого гравця при різних стратегіях:
При досить великих значеннях п другий гравець, який максимізує свій очікуваний виграш, вибере стратегію с.
Аналогічно перший гравець вибере стратегію а , якщо другий гравець
використовує змішану стратегію
Отже, (а; с) є рівновагою тремтячою руки. Це означає, що дане рівновагу має властивість стійкості по відношенню до невеликих відхилень від нього будь-якого гравця.
Розглянемо тепер профіль стратегій ( b ; d ).
Виберемо довільний профіль цілком змішаних стратегій
Очевидно, а р -> (b, d) при p, q -> 0, pq Ф (). Однак найкращою відповіддю на стратегію qc + (1 - q) d другого гравця буде стратегія а першого гравця, а не Ь.
Отже, (b; d) не є рівновагою тремтячою руки. Це означає, що дане рівновагу не має властивість стійкості по відношенню до невеликих відхилень від нього одного з гравців (при як завгодно малих відхиленнях першого гравця другому гравцеві вигідно відхилитися від стратегії d).
Приклад 2.28. У біматричних грі знайти все рівноваги Неша і рівноваги тремтячою руки:
Рішення
У цій грі три рівноваги Неша:
З'ясуємо, які з них є равновесиями тремтячою руки.
Розглянемо рівновагу (а; с) і послідовність стратегій першого
гравця
Очевидно,> «при я-Тоді оцінимо дії другого гравця:
Розглянемо тепер послідовність стратегій другого гравця
Очевидно, г я -> с при Тоді оцінимо дії
першого гравця:
Оскільки профіль стратегій
при і -> оо, то рівновага (а; с) - рівновага тремтячою руки.
Аналогічно доводиться, що і ( b ; d) - рівновага тремтячою руки.
Розглянемо тепер рівновагу
Нехай
, тобто розглядається послідовність
профілів цілком змішаних стратегій, які збігаються з самим профілем о. Очевидно, а п -> про при п -> І кожна стратегія профілю ст є найкращою відповіддю на послідовність стратегій іншого гравця з профілю а ". Отже, профіль а є рівновагою тремтячою руки.
З розгляду прикладу випливає, що будь-який рівноважний Неша профіль цілком змішаних стратегій в біматричних грі є рівновагою тремтячою руки.
В цілому рівновагу тремтячою руки - це така рівновага Неша, яке стійке по відношенню до малих відхилень будь-якого з гравців від стратегії рівноваги.
Приклад 2.29. У біматричних грі знайти все рівноваги Неша і рівноваги тремтячою руки:
Рішення
У даній грі равновесиями Неша є (pa + (l- p) b, d), /? Е [0; 1]. Розглянемо, які з них є равновесиями тремтячою руки.
1. При р = 1 маємо а = (а; d). Розглянемо наступну послідовність
профілів цілком змішаних стратегій:
Очевидно, а "-" а при п ->
Крім того, найкращою відповіддю на стратегію першого
гравця є стратегія d другого гравця і найкращою відповіддю на стратегію
другого гравця є стратегія а першого гравця.
Отже, про = (a; d) - рівновага тремтячою руки.
2. При р = 0 маємо а = ( b ; (1 ). Розглянемо довільний профіль цілком змішаних стратегій
Виграш першого гравця:
Найкращою відповіддю при q е (0; 1) є р = 1, Г.Є. стратегія а, а не Ь. Отже, про = ( b ; d) не є рівновагою тремтячою руки.
3. Розглянемо тепер рівноваги Неша a ~ (pa + (lp) b, d) при ре ( 0; 1). Виберемо довільний профіль цілком змішаних стратегій а п = (pa + (1 - p) b, qc + (1 - q) d). Якщо другий гравець застосовує стратегію qc + (1 - q) d, де q е (0; 1), то найкращою відповіддю першого гравця буде а, а не ра + (- р) Ь. Отже, рівноваги а = (pa + (1 - p) b, d) при ре (0; 1) не є равновесиями тремтячою руки.
