Навігація
Головна
 
Головна arrow Природознавство arrow ТЕОРІЯ ІГОР
Переглянути оригінал

РІВНОВАГА ТРЕМТЯЧОЮ РУКИ

Визначення 2.13. Нехай задана гра в нормальній формі G = (N, S i9 Uj, i = l, ..., N) . Розглянемо деякий профіль змішаних стратегій а = [1] , р 2 , р 3 , ..., р Л ) і послідовність {a w } профілів цілком змішаних стратегій [1] , що сходяться до а при я -> <*> . Якщо існує така послідовність цілком змішаних профілів стратегій про п = (Pi> Р ;, р ^ , .. p J J ), що сходиться до а при п-> «>, що стратегія р ' кожного гравця в профілі а є найкращим його відповіддю на стратегії інших гравців з профілю а", то такий профіль а називається рівновагою тремтячою руки.

Як і рівновагу Неша, рівновагу тремтячою руки існує в змішаному розширенні в будь-який некооперативного грі з кінцевими множинами стратегій гравців.

Приклад 2.27. Розглянемо біматричних гру

У цій грі є два рівноваги Неша: (а; с) і ( b ; d). Однак тільки (а; с) є рівновагою тремтячою руки.

Дійсно, припустимо, що перший гравець використовує змішану

стратегію ( для деякого п> 1. Це означає, що стратегія

а буде вибиратися з ймовірністю і стратегія b буде вибиратися

з ймовірністю . Очевидно, z n -> а при п -> <*>. Оцінимо виграші другого гравця при різних стратегіях:

При досить великих значеннях п другий гравець, який максимізує свій очікуваний виграш, вибере стратегію с.

Аналогічно перший гравець вибере стратегію а , якщо другий гравець

використовує змішану стратегію

Отже, (а; с) є рівновагою тремтячою руки. Це означає, що дане рівновагу має властивість стійкості по відношенню до невеликих відхилень від нього будь-якого гравця.

Розглянемо тепер профіль стратегій ( b ; d ).

Виберемо довільний профіль цілком змішаних стратегій

Очевидно, а р -> (b, d) при p, q -> 0, pq Ф (). Однак найкращою відповіддю на стратегію qc + (1 - q) d другого гравця буде стратегія а першого гравця, а не Ь.

Отже, (b; d) не є рівновагою тремтячою руки. Це означає, що дане рівновагу не має властивість стійкості по відношенню до невеликих відхилень від нього одного з гравців (при як завгодно малих відхиленнях першого гравця другому гравцеві вигідно відхилитися від стратегії d).

Приклад 2.28. У біматричних грі знайти все рівноваги Неша і рівноваги тремтячою руки:

Рішення

У цій грі три рівноваги Неша:

З'ясуємо, які з них є равновесиями тремтячою руки.

Розглянемо рівновагу (а; с) і послідовність стратегій першого

гравця Очевидно,> «при я-Тоді оцінимо дії другого гравця:

Розглянемо тепер послідовність стратегій другого гравця Очевидно, г я -> с при Тоді оцінимо дії

першого гравця:

Оскільки профіль стратегій

при і -> оо, то рівновага (а; с) - рівновага тремтячою руки.

Аналогічно доводиться, що і ( b ; d) - рівновага тремтячою руки.

Розглянемо тепер рівновагу

Нехай , тобто розглядається послідовність

профілів цілком змішаних стратегій, які збігаються з самим профілем о. Очевидно, а п -> про при п -> І кожна стратегія профілю ст є найкращою відповіддю на послідовність стратегій іншого гравця з профілю а ". Отже, профіль а є рівновагою тремтячою руки.

З розгляду прикладу випливає, що будь-який рівноважний Неша профіль цілком змішаних стратегій в біматричних грі є рівновагою тремтячою руки.

В цілому рівновагу тремтячою руки - це така рівновага Неша, яке стійке по відношенню до малих відхилень будь-якого з гравців від стратегії рівноваги.

Приклад 2.29. У біматричних грі знайти все рівноваги Неша і рівноваги тремтячою руки:

Рішення

У даній грі равновесиями Неша є (pa + (l- p) b, d), /? Е [0; 1]. Розглянемо, які з них є равновесиями тремтячою руки.

1. При р = 1 маємо а = (а; d). Розглянемо наступну послідовність

профілів цілком змішаних стратегій:

Очевидно, а "-" а при п ->

Крім того, найкращою відповіддю на стратегію першого

гравця є стратегія d другого гравця і найкращою відповіддю на стратегію другого гравця є стратегія а першого гравця.

Отже, про = (a; d) - рівновага тремтячою руки.

2. При р = 0 маємо а = ( b ; (1 ). Розглянемо довільний профіль цілком змішаних стратегій

Виграш першого гравця:

Найкращою відповіддю при q е (0; 1) є р = 1, Г.Є. стратегія а, а не Ь. Отже, про = ( b ; d) не є рівновагою тремтячою руки.

3. Розглянемо тепер рівноваги Неша a ~ (pa + (lp) b, d) при ре ( 0; 1). Виберемо довільний профіль цілком змішаних стратегій а п = (pa + (1 - p) b, qc + (1 - q) d). Якщо другий гравець застосовує стратегію qc + (1 - q) d, де q е (0; 1), то найкращою відповіддю першого гравця буде а, а не ра + (- р) Ь. Отже, рівноваги а = (pa + (1 - p) b, d) при ре (0; 1) не є равновесиями тремтячою руки.

  • [1] Цілком змішані стратегії - такі змішані стратегії, в яких все чістиестратегіі граються з позитивними можливостями.
  • [2] Цілком змішані стратегії - такі змішані стратегії, в яких все чістиестратегіі граються з позитивними можливостями.
 
Переглянути оригінал
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук