Навігація
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Головна arrow Природознавство arrow ТЕОРІЯ ІГОР
Переглянути оригінал

НЕСКІНЧЕННІ ІГРИ

Нагадаємо, що нескінченними називаються гри, в яких є нескінченне число стратегій. Розглянемо статичну гру двох гравців.

Приклад 2.30. Гравець А вибирає число хе R, а гравець В (одночасно з А) - число yeR. Виграші гравців рівні відповідно U A (x, у) - х 2 -ху і U B (x, y) = xy-Ay-y 2 . Знайти всі рівноваги Неша.

Рішення

Кожен з гравців максимізує свою функцію виграшу: гравець Л - по змінної х, гравець В - по змінної у. З умов першого порядку маємо

З властивостей квадратичної функції випливає, що достатні умови другого порядку для максимуму виконані.

Приклад 2.31. Гравець Л вибирає дійсне число хе [-1; 1], а гравець В (одночасно з Л) - число г / е [-2; 2]. Виграші гравців рівні відповідно U A (х, у) = х 2 - 2 ху + 4 х + у 3 і U B (x, у) = ху - 2у - у 2 + 2 х . Знайти всі рівноваги Неша.

Рішення

Кожен з гравців максимізує свою функцію виграшу: гравець Л - по змінної х, гравець В - по змінної у.

Розглянемо умова першого порядку для гравця Л. Для цього розглянемо функцію як функцію від змінної х.

Оскільки , то максимум U A досягається у внутрішній точці х = 2-у за умови (рис. 2.38, а).

Мал. 2.38

Якщо 2 - г / <- 1, то найбільше значення функція U A досягає в лівій точці відрізка, при х = -1 (рис. 2.38, б).

Якщо 2-у> 1, то найбільше значення функція U A досягає в правій точці відрізка, при х = 1 (рис. 2.38, в). Таким чином, маємо оптимальні дії гравця Л при передбачуваних виборах у для гравця В:

Ця залежність відображена у вигляді ламаної лінії х (у) на рис. 2.39. Аналогічно розглядається поведінка гравця В. Оскільки

, То максимум Ug досягається у внутрішній точці за умови , або х е [-2; 6]. Але оскільки х е [-1; 1], то максимум тільки граничний (при х = 1).

Ця залежність відображена у вигляді ламаної лінії у (х ) на рис. 2.39.

Мал. 2.39

При одночасному виборі стратегій існує єдина точка рівноваги Неша

Приклад 2.32. Два ковбоя прийшли в шинок. У одного з них 10 золотих, у другого - 2 золотих. Кожен ковбой вирішує витратити всі свої гроші, розподіливши їх на випивку ( v ) або на музику ( т ). Музика є загальним благом - її чують все. Випивка - приватним. Свій вибір ковбої здійснюють одночасно. Корисності відомі кожному з них і рівні

де rrij, Vj - витрати i-ro ковбоя на музику і випивку відповідно. Припустимо, що гроші нескінченно подільні. Знайти рівновагу Неша. Рішення

Кожен ковбой максимізує свою корисність, припускаючи, що і інший робить так само.

1. Оскільки

Максимізували квадратичную функцію по змінної т ] е [0; 10]:

Але оскільки т 2 е [0; 2], остаточно отримаємо

2. Оскільки

Максимізували квадратичную функцію по змінної т 2 е [0; 2]:

Але оскільки т { е [0; 10], то

Побудуємо графіки функцій (1) і (2) і знайдемо точки їх перетину (рис. 2.40).

Мал. 2.40

У графіків єдина точка перетину т ] = 5; т 2 = 0. Відповідь : NE : т л = 5; т 2 - 0; v x - 5; v 2 - 2.

 
Переглянути оригінал
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук