НЕСКІНЧЕННІ ІГРИ

Нагадаємо, що нескінченними називаються гри, в яких є нескінченне число стратегій. Розглянемо статичну гру двох гравців.

Приклад 2.30. Гравець А вибирає число хе R, а гравець В (одночасно з А) - число yeR. Виграші гравців рівні відповідно U A (x, у) - х 2 -ху і U B (x, y) = xy-Ay-y 2 . Знайти всі рівноваги Неша.

Рішення

Кожен з гравців максимізує свою функцію виграшу: гравець Л - по змінної х, гравець В - по змінної у. З умов першого порядку маємо

З властивостей квадратичної функції випливає, що достатні умови другого порядку для максимуму виконані.

Приклад 2.31. Гравець Л вибирає дійсне число хе [-1; 1], а гравець В (одночасно з Л) - число г / е [-2; 2]. Виграші гравців рівні відповідно U A (х, у) = х 2 - 2 ху + 4 х + у 3 і U B (x, у) = ху - 2у - у 2 + 2 х . Знайти всі рівноваги Неша.

Рішення

Кожен з гравців максимізує свою функцію виграшу: гравець Л - по змінної х, гравець В - по змінної у.

Розглянемо умова першого порядку для гравця Л. Для цього розглянемо функцію як функцію від змінної х.

Оскільки , то максимум U A досягається у внутрішній точці х = 2-у за умови (рис. 2.38, а).

Мал. 2.38

Якщо 2 - г / <- 1, то найбільше значення функція U A досягає в лівій точці відрізка, при х = -1 (рис. 2.38, б).

Якщо 2-у> 1, то найбільше значення функція U A досягає в правій точці відрізка, при х = 1 (рис. 2.38, в). Таким чином, маємо оптимальні дії гравця Л при передбачуваних виборах у для гравця В:

Ця залежність відображена у вигляді ламаної лінії х (у) на рис. 2.39. Аналогічно розглядається поведінка гравця В. Оскільки

, То максимум Ug досягається у внутрішній точці за умови , або х е [-2; 6]. Але оскільки х е [-1; 1], то максимум тільки граничний (при х = 1).

Ця залежність відображена у вигляді ламаної лінії у (х ) на рис. 2.39.

Мал. 2.39

При одночасному виборі стратегій існує єдина точка рівноваги Неша

Приклад 2.32. Два ковбоя прийшли в шинок. У одного з них 10 золотих, у другого - 2 золотих. Кожен ковбой вирішує витратити всі свої гроші, розподіливши їх на випивку ( v ) або на музику ( т ). Музика є загальним благом - її чують все. Випивка - приватним. Свій вибір ковбої здійснюють одночасно. Корисності відомі кожному з них і рівні

де rrij, Vj - витрати i-ro ковбоя на музику і випивку відповідно. Припустимо, що гроші нескінченно подільні. Знайти рівновагу Неша. Рішення

Кожен ковбой максимізує свою корисність, припускаючи, що і інший робить так само.

1. Оскільки

Максимізували квадратичную функцію по змінної т ] е [0; 10]:

Але оскільки т 2 е [0; 2], остаточно отримаємо

2. Оскільки

Максимізували квадратичную функцію по змінної т 2 е [0; 2]:

Але оскільки т { е [0; 10], то

Побудуємо графіки функцій (1) і (2) і знайдемо точки їх перетину (рис. 2.40).

Мал. 2.40

У графіків єдина точка перетину т ] = 5; т 2 = 0. Відповідь : NE : т л = 5; т 2 - 0; v x - 5; v 2 - 2.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >