Навігація
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Головна arrow Природознавство arrow ТЕОРІЯ ІГОР
Переглянути оригінал

РОЗГОРНУТА ФОРМА ПОДАННЯ ІГОР

Розглянемо динамічну гру в розгорнутій формі. Може здатися, що статичні гри представляються завжди в нормальній формі, а динамічні - в розгорнутій. Це не вірно. Будь-яка гра може бути представлена як в нормальній, так і в розгорнутій формі, хоча для деяких ігор одна з двох форм більш зручна для аналізу. На наступному простому прикладі розглянемо, як можна від однієї форми подання гри перейти до іншої і навпаки.

Нагадаємо, що нормальна форма подання гри передбачає:

  • 1) безліч гравців;
  • 2) безліч стратегій для кожного гравця;
  • 3) платіжні функції кожного гравця, певні на всіляких комбінаціях стратегій гравців (профілях стратегій).

Розгорнута форма подання гри передбачає відомими:

  • 1) безліч гравців;
  • 2) визначення черговості ходів (в якій послідовності гравці приймають рішення);
  • 3) безліч можливих рішень кожного з гравців в момент їх ходу;
  • 4) інформацію, якою володіє кожен з гравців в моменти прийняття рішень;
  • 5) платежі кожного з гравців, певні на всіляких комбінаціях обираних ними ходів.

Розглянемо наступну гру.

1. Гравець 1 вибирає дію а Л з допустимого безлічі ходів

Л = {х, у).

  • 2. Гравець 2 аналізує а й потім, в разі якщо перший гравець зіграв х, вибирає дію а 2 з допустимого безлічі ходів А 2 - {z, t). Якщо ж перший гравець зіграв у, другий вибирає дію а л з допустимого безлічі ходів А 3 = {т, п }.
  • 3. Платежі гравців складуть і {{ , а 2 , а 3 ) і і 2{ > а 2 , а $), як показано на дереві гри (рис. 3.9).

Рис . 3.9

Ця гра починається з початкового вирішального вузла для гравця 1, який робить вибір між л; і у. Якщо гравець 1 вибирає х, досягається вирішальний вузол для гравця 2, який робить вибір між z і t. Відповідно до цього вибором досягаються кінцеві вузли, в яких гравці отримують відповідні платежі. Аналогічно при виборі гравцем 1 ходу г / другий гравець робить вибір між т і п.

Розглянута вище гра є прикладом гри з повною досконалої інформацією. Це означає, що гравці ходять послідовно (не одночасно), все попередні ходи відомі всім гравцям до того, як ними вибирається наступний хід, і всім гравцям відомі платежі, одержувані гравцями в результаті будь-яких можливих комбінацій зроблених ними ходів.

Уявімо гру на рис. 3.9 в нормальній формі.

Нагадаємо, що стратегією гравця ми називаємо повний план дій - він визначає всі допустимі дії гравців в будь-якій ситуації, в якій може опинитися гравець перед вибором їм чергового ходу.

У представленій грі гравець 2 має два можливих ходу і чотири можливі стратегії ' , оскільки у нього є дві можливості після ходу першим гравцем х і дві можливості після ходу першим гравцем у. Опишемо і позначимо їх (перша буква в стратегії другого гравця буде показувати його дію після ходах першого гравця, а друга - дія після ходу у):

  • стратегія 1 ( zm ): якщо гравець 1 грає х, грати г; якщо гравець 1 грає г /, грати т
  • стратегія 2 (zn): якщо гравець 1 грає х, грати z; якщо гравець 1 грає у, грати п
  • стратегія 3 ( Ш ): якщо гравець 1 грає х, грати t якщо гравець 1 грає г /, грати т ;
  • стратегія 4 (tri): якщо гравець 1 грає х, грати t якщо гравець 1 грає у, грати п.

У гравця 1 тільки два можливих ходу і дві стратегії: грати х і у. Таким чином, безліч стратегій гравця 1 збігається з безліччю можливих ходів. [1]

Безлічі можливих ходів гравців:

Безлічі стратегій:

Оскільки описані безлічі стратегій гравців, можна уявити матрицю платежів, що відповідають різним комбінаціям стратегій:

Покажемо тепер, як статичну гру можна уявити в розгорнутій формі. Розглянемо приклад статичної гри «дилема ув'язнених». Кожен з гравців робить хід, не знаючи ходу іншого гравця. Можемо сказати, що гравці ходять одночасно. Перший гравець, як зазвичай, вибирає одну з рядків, другий - стовпець:

Безлічі можливих ходів гравців:

Безлічі стратегій в даному випадку збігаються з множинами ходів:

Для того щоб можна було уявити цю гру в розгорнутій формі, потрібно зуміти зобразити, що другий гравець робить свій хід, не аналізує ходу першого гравця. Раніше ми ввели поняття інформаційного безлічі. Ще раз нагадаємо, як воно визначається.

Визначення 3.1. Інформаційним безліччю для гравця назвемо безліч вирішальних вузлів, які відповідають таким умовам:

  • а) гравець може робити хід в будь-якому з вузлів цього безлічі;
  • б) до моменту досягнення вузла інформаційного безлічі гравець, якому належить зробити хід, не знає, який із вузлів цієї множини досягнуто.

З другої частини визначення випливає, що гравець повинен мати однакові допустимі ходи в кожному з вузлів інформаційного безлічі.

Факт приналежності вузлів одному інформаційному безлічі ми будемо зображати, поєднуючи його вузли пунктирними лініями (рис. 3.10).

В якості ще одного прикладу розглянемо динамічну гру з повною, але недосконалою інформацією.

  • 1. Перший гравець вибирає хід а, з безлічі А = {т, п}.
  • 2. Другий гравець аналізує хід а, і потім вибирає хід а 2 з безлічі {р.р., у } в разі ходу т або хід a s з безлічі {г,?} В разі ходу п.

Мал. 3.10

3. Третій гравець, знаючи хід першого гравця, але не знаючи ходу другого, вибирає свій хід а л з безлічі {г, е } в разі ходу т першого гравця або хід а 5 з безлічі {v, w} в разі ходу п першого гравця.

Розгорнута форма подання цієї гри (платежі для простоти опущені) представлена на рис. 3.11.

Мал. 3.11

У цій грі третій гравець має два інформаційних безлічі, обидва багатоточкові.

Після того як ми ввели поняття інформаційного безлічі, ми можемо розглянути відмінність ігор з досконалою і недосконалою інформацією з іншої точки зору. Іграми з досконалою інформацією ми раніше називали такі ігри, в яких кожен гравець перед черговим ходом знав всю передісторію гри від початку до поточного моменту. Еквівалентним цього можна вважати таке визначення.

Визначення 3.2. В іграх з досконалою інформацією кожне інформаційне безліч одноточечное. Навпаки, в іграх з недосконалою інформацією існує принаймні одне багатоточкове інформаційне безліч.

Таким чином, динамічні ігри з повною недосконалою інформацією представляються в розгорнутій формі з використанням багатоточкових інформаційних множин.

  • [1] Маються на увазі чисті стратегії.
 
Переглянути оригінал
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук