ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Знайдіть назад-індукційні результати в наступних послідовних іграх [1] (рис. 3.26-3.28).

19.

Мал. 3.26

20.

Мал. 3.27

Мал. 3.28

  • 22. Гра NIM. В купці 121 камінь. Гравці (Саша і Маша) ходять по черзі. Саша за один хід може взяти один або три камені, а Маша - два або чотири каменю. Програє той, хто не може зробити хід за правилами. Хто виграє при правильній грі в наступних випадках: а) першим ходить Саша; б) першої ходить Маша?
  • 23. Гра NIM. В купці 121 камінь. Гравці (Саша і Маша) ходять по черзі. Саша за один хід може взяти два або п'ять каменів, а Маша - один або чотири каменю. Виграє той, хто не може зробити хід за правилами. Хто виграє при правильній грі в наступних випадках: а) першим ходить Саша; б) першої ходить Маша?
  • 24. На столі лежить: а) 124 фішки; б) 515 фішок. Два гравця (Саша і Маша) по черзі прибирають кілька фішок. Саша може прибрати або одну, або дві фішки. Маша може прибрати або три, або чотири фішки. Виграє той, хто не зможе зробити черговий хід. Хто переможе в наступних випадках, якщо гравці при виборі стратегій використовують метод зворотного індукції: 1) першим ходить Саша; 2) першої ходить Маша?
  • 25. Три фірми випускають однаковий продукт. Спочатку перша фірма (лідер) оголошує про свій намір виробляти товар в кількості q { . Потім друга фірма (послідовник), знаючи q b оголошує про своє кількості товару q 2 . Після цього третя фірма (замикає), знаючи q x і q 2 , встановлює кількість товару q%. Загальновідома зворотна функція попиту P = 20-Q, де Q - загальна кількість продукції трьох фірм. Граничні витрати фірм дорівнюють відповідно 1, 2 і 3. Скільки товару зробить кожна фірма за умови використання ними методу зворотного індукції?
  • 26. Три фірми випускають однаковий продукт. Спочатку перша фірма (лідер) оголошує про свій намір виробляти товар в кількості q. Потім друга фірма (послідовник), знаючи q x > оголошує про своє кількості товару д 2 - Після цього третя фірма (замикає), знаючи q { і q 2 , встановлює кількість товару q 3 . Загальновідома зворотна функція попиту Р = 32 - Q, де Q - загальна кількість продукції трьох фірм. Граничні витрати фірм дорівнюють відповідно 2, 3 і 4. Скільки товару зробить кожна фірма за умови використання ними методу зворотного індукції?
  • 27. Є п піратів (п досить велике, п> 5). Випадковим чином пірати нумеруються. Є купа золота. Її будуть ділити. Ділять так: спочатку пірат № 1 пропонує свій спосіб поділу. Відбувається голосування ( «За» - «Проти»). Є процедура підрахунку голосів. Наприклад, така: поділ вважається схваленим, якщо «За» проголосувало більше половини всіх піратів, включаючи запропонував поділ. Якщо розподіл схвалений, то гра закінчується. Якщо немає, то пірата № 1 викидають за борт і пропонує пірат № 2. І так до тих пір, поки гра не закінчиться. Пірати голосують відповідно до своїх уподобань:

A. Якщо я буду живий, то чим більше у мене буде золота, тим краще.

Б. Жити без золота краще, ніж померти.

B. При рівній кількості золота для мене і однаковою моїй долі краще той варіант, де в живих залишається більше піратів.

Питання: Як буде поділена купа і скільки залишиться живих піратів?

28. Є б піратів. Випадковим чином пірати нумеруються. Є скарб - 100 золотих монет. Його будуть ділити. Ділять так: спочатку пірат № 1 пропонує свій спосіб поділу. Відбувається голосування ( «За» - «Проти»). Є процедура підрахунку голосів. Поділ вважається схваленим, якщо «За» проголосувало більше половини всіх піратів, включаючи запропонував поділ. Якщо розподіл схвалений, то гра закінчується. Якщо немає, то пірата № 1 викидають за борт і пропонує пірат № 2. І так до тих пір, поки гра не закінчиться. Пірати голосують відповідно до своїх уподобань:

A. Якщо я буду живий, то чим більше у мене буде золота, тим краще.

Б. Жити без золота краще, ніж померти.

B. За інших рівних умов пірати жадають крові - чим більше інших викинуть за борт, тим краще!

Питання: Як буде поділена купа і скільки залишиться живих піратів?

29. У деякому місті, де живуть N подружніх пар, з'явився глашатай, який проголосив: «Серед ваших дружин є невірні». Слова глашатая не заперечують і приймаються без сумнівів.

Звичаї у жителів міста суворі. Якщо чоловік шляхом логічних рас суджень визначає невірність своєї дружини, то вона негайно виганяється з міста. Кожен чоловік знає все про інших жінок міста (вірні вони своїм чоловікам чи ні), але не має інформації про свою дружину. Переговори між жителями міста не допускаються. Щовечора всі жителі міста збираються на центральній площі і можуть бачити всіх, хто лишився в місті. Хто залишиться в місті після всіх «зачисток»?

30. У грі беруть участь два гравці. Спочатку перший гравець вибирає xeR; потім другий гравець, знаючи х, вибирає у е R. Функції виграшу мають вигляд

Які х і у будуть реалізовані гравцями при використанні ними методу зворотного індукції? Знайдіть рівновагу Неша, вчинене в подиграх.

У наступних чотирьох завданнях (рис. 3.29-3.32) на малюнку представлена послідовна гра двох гравців. Уявіть її в нормальній формі (побудуйте матричну гру), знайдіть все рівноваги Неша (NE) і рівноваги, вчинені в подиграх (SPNE).

31.

Мал. 3.29

32.

Мал. 3.30

33.

Мал. 3.31

34.

Мал. 3.32

У наступних трьох завданнях (рис. 3.33-3.35) на малюнку представлена послідовна гра двох гравців з участю Природи. Уявіть її в нормальній формі (побудуйте матричну гру), знайдіть все рівноваги Неша (NE) і рівноваги, вчинені в подиграх ( SPNE ).

35.

Мал. 3.33

36.

Мал. 3.34

37.

Мал. 3.35

  • [1] У всіх зазначених нижче іграх вважати, що всі гравці (Саша і Маша, пірати і подружні пари) добре знайомі з методом зворотної індукції і повсюдно його застосовують.
 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >