ТИМЧАСОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛІНІЙНИХ ЛАНЦЮГІВ

Поодинокі функції і їх властивості. Важливе місце в теорії лінійних ланцюгів займає дослідження реакції цих ланцюгів на ідеалізовані зовнішні впливи, описувані так званими одиничними функціями.

Єдиної ступінчастою функцією (функцією Хевісайда) називається функція

Графік функції 1 (7 - ( 0 ) має вигляд сходинки або стрибка, висота якого дорівнює одиниці (рис. 6.16, а). Стрибок такого типу будемо називати одиничним. При t 0 = Q для одиничної ступінчастої функції використовують позначення 1 (0 (рис . 6.16, б).

У зв'язку з тим, що твір будь-обмеженою функції часу f (t ) па 1 (t - t 0 ) дорівнює нулю при t <t 0 і дорівнює / (0 при t> t 0 :

функцію Хевісайда l (f - t 0 ) зручно використовувати для аналітичного представлення різних зовнішніх воздейст-

До визначення одиничної ступінчастої функції вий на ланцюг, значення яких дорівнює нулю до комутації і стрибкоподібно змінюється в момент комутації

Мал. 6.16. До визначення одиничної ступінчастої функції вий на ланцюг, значення яких дорівнює нулю до комутації і стрибкоподібно змінюється в момент комутації.

При підключенні ланцюга до джерела постійного струму або напруги зовнішній вплив на ланцюг

де to - момент комутації.

Зовнішній вплив такого виду називається непоодиноким стрибком. Використовуючи функцію Хевісайда, вираз (6.95) можна представити у вигляді

Якщо при t =? Про в ланцюг включається джерело гармонійного струму або напруги

то зовнішній вплив на ланцюг можна представити у вигляді

Якщо зовнішній вплив на ланцюг в момент часу t = стрибкоподібно змінюється від одного фіксованого значення Х { до іншого Х 2 , то

Зовнішній вплив на ланцюг, що має форму прямокутного імпульсу висотою X і тривалістю t u (рис. 6.17, а ), можна представити у вигляді різниці двох однакових стрибків

зсунутих в часі на? і (рис. 6.17, б, в):

Подання прямокутного імпульсу у вигляді різниці двох непоодиноких стрибків

Мал. 6.17. Подання прямокутного імпульсу у вигляді різниці двох непоодиноких стрибків

До визначення 6-функції

Мал. 6.18. До визначення 6-функції

Розглянемо прямокутний імпульс тривалістю At і висотою Х / At (рис. 6.18, а). Очевидно, що площа цього імпульсу дорівнює одиниці і не залежить від At. При зменшенні тривалості імпульсу його висота зростає, причому при At - *? 0 вона прямує до нескінченності, але площа імпульсу залишається рівною одиниці. Імпульс нескінченно малої тривалості, нескінченно великої висоти, площа якого дорівнює одиниці, будемо називати одиничним імпульсом.

Функція, що визначає одиничний імпульс, позначається 5 (t - to) і називається 5-функцією або функцією Дірака '. Таким чином,

причому

При? 0 = 0 для 5-функції використовується позначення 5 (t). При побудові временних діаграм функції б (t - to) і 8 (t) будемо зображати у вигляді вертикальної стрілки зі значком 00 близько вістря (рис. 6.18, б, в).

Для встановлення зв'язку між 5-функцією і одиничної ступінчастою функцією скористаємося виразом (6.96). Вважаючи X = 1 / At і спрямовуючи At до нуля, отримуємо

звідки [1]

Таким чином, 8-функція являє собою похідну від одиничної ступінчастої функції, а одинична ступінчаста функція - інтеграл від 8-функції.

Суворе обгрунтування операцій над одиничними функціями, в тому числі операції диференціювання одиничної ступінчастої функції, дано в теорії узагальнених функцій. Для якісного обґрунтування таких операцій функції 1 (7: - / 0 ) і 6 (7 - t 0 ) зручно представити в якості граничних значень деяких більш простих функцій, для яких відповідні операції є певними. Розглянемо, наприклад, функцію .гДГ) (рис. 6.19, а), що задовольняє умовам

Похідна функції X (t) за часом (рис. 6.19, б) має вигляд прямокутного імпульсу тривалістю At і висотою 1 / Д t:

При At - *? 0 функція X (t) вироджується в одиничну ступінчасту функцію, а функція dx { (t) / dt - в б-функцію:

звідки випливає, що

До встановлення зв'язку між поодинокими функціями

Мал. 6.19. До встановлення зв'язку між поодинокими функціями

При виконанні різних операцій над одиничними функціями момент комутації t Q зручно розчленовувати на три різних моменти:? 0 _-момент часу, що безпосередньо передував комутації,? 0 - власне момент комутації і? () + - момент часу, наступний безпосередньо після комутації. З огляду на це з умови (6.98) можна отримати

У загальному випадку

Твір довільній обмеженою функції часу / (?) На 8 (? -? 0 )

Умовами (6.103) задовольняє також твір f (t 0 ) 6 (t -? О)> отже,

З виразів (6.102) і (6.104) випливає, що інтеграл від твору довільної обмеженої функції / (?) На 6 (1: - tg) дорівнює або значенням цієї функції при t = to (якщо точка to належить інтервалу інтегрування), або нулю (якщо точка? 0 не належить інтервалу інтегрування):

Таким чином, за допомогою 5-функції можна виділяти значення функції / (?) В довільні моменти часу? 0 - Цю особливість 8-функції зазвичай називають фільтруючим властивістю.

Для визначення реакції лінійних електричних ланцюгів на зовнішній вплив у вигляді одиничного стрибка або одиничного імпульсу необхідно знайти зображення одиничних функцій але Лапласа. Використовуючи розглянуті властивості одиничних функцій, отримуємо

При t 0 = 0 операторні зображення одиничних функцій мають особливо простий вигляд:

  • [1] Більш суворе визначення 5-функції див., Наприклад, в роботі [12].
 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >