ВНУТРІШНЬО СУПЕРЕЧЛИВІ СЛІДСТВА

За логічного закону протиріччя одне з двох суперечать одна одній тверджень помилково. Тому, якщо в числі наслідків будь-якого положення зустрілися і твердження, і заперечення одного і того ж, можна відразу сказати, що це положення помилково.

Наприклад, положення «Квадрат - це коло» помилково, оскільки з нього виводиться як то, що квадрат має кути, так і те, що у нього немає кутів.

Помилковим буде також положення, з якого виводиться внутрішньо суперечливе висловлювання або висловлювання про тотожність ствердження і заперечення.

юз

Один із прийомів непрямого докази - виведення з антитези логічного протиріччя. Якщо антитеза містить протиріччя, він явно помилковий. Тоді його заперечення - теза докази - вірно.

Хорошим прикладом непрямого докази служить відоме доказ Евкліда, що ряд простих чисел нескінченний.

Прості - це натуральні числа більше одиниці, що діляться тільки на себе і на одиницю. Прості числа - це як би «первинні елементи», на які всі цілі числа (більше 1) можуть бути розкладені. Природно припустити, що ряд простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... нескінченний. Для доказу цієї тези допустимо, що це не так, і подивимося, до чого веде таке припущення. Якщо ряд простих чисел кінцевий, існує останнім просте число ряду - А Утворюємо, далі, інше число: В = (2хЗх5х ... х А) + 1. Число В більше А, тому В не може бути простим числом. Значить, В має ділитися на просте число. Але якщо В розділити на будь-який з чисел 2, 3, 5, ..., А, то в залишку вийде 1. Отже, В не ділиться ні на одне із зазначених простих чисел і є, таким чином, простим. У підсумку, виходячи з припущення, що існує останнім просте число, ми прийшли до протиріччя: існує число одночасно і просте, і не є простим. Це означає, що зроблене припущення помилково і правильно протилежне твердження: ряд простих чисел нескінченний.

У цьому непрямому доказі з антитези виводиться логічне протиріччя, що прямо говорить про хибностіантитези і, відповідно, про істинність тези. Такого роду докази широко використовуються в математиці.

Якщо мається на увазі тільки та частина подібних доказів, в якій показується хибність будь-якого припущення, вони іменуються за традицією приведенням до абсурду. Хибність припущення розкривається тим, що з нього виводиться абсурд, т. Е. Логічне протиріччя.

Є ще один різновид непрямого докази, коли прямо не доводиться шукати помилкові слідства. Справа в тому, що для доведення твердження достатньо показати, що воно логічно випливає зі свого власного заперечення.

Наприклад, якщо з припущення, що двічі по два дорівнює п'яти, виведено, що це не так, тим самим доведено, що двічі зо два не дорівнює п'яти.

За такою схемою міркував ще Евклід у своїй "Геометрії". Цю ж схему використовував одного разу давньогрецький філософ Демокріт в суперечці з іншим давньогрецьким філософом, софістом Протагором. Протагор стверджував, що істинно все те, що кому-небудь приходить в голову. На це Демокріт відповів, що з положення «Кожне висловлювання істинно» випливає істинність і його заперечення «Не все висловлювання істинними». І значить, це заперечення, а не положення Протагора насправді істинно.