ЛОГІЧНІ ПАРАДОКСИ

22. Опис аркуша паперу

Здійсненно чи повний опис чистого аркуша паперу на ньому самому? Чи не нагадує приводиться далі дитячий віршик такий опис?

Припустимо, що вам дали чистий аркуш паперу і доручили описати цей лист на ньому ж. Ви пишете: це лист прямокутної форми, білий, таких-то розмірів, виготовлений з пресованих волокон деревини і т. Д.

Опис начебто закінчено. Але воно явно неповне! У процесі опису об'єкт змінився: на ньому з'явився текст. Тому до опису потрібно ще додати: а окрім того, на цьому аркуші паперу написано: це лист прямокутної форми, білий ... і т. Д. До нескінченності.

Здається, що тут парадокс, чи не так?

Добре відомий дитячий віршик:

У попа була собака,

Він її любив.

Вона з'їла шматок м'яса,

Він її убив.

Убив і закопав,

А на могилі написав:

«У попа була собака ...»

Чи зміг цей любив свою собаку поп коли-небудь закінчити надгробний напис?

23. Парадокс каталогу

Чи можна побудувати за схемою викладається далі парадоксу інше міркування, що нагадує цей парадокс, але говорить нема про каталогах, а використовує інший конкретний матеріал? Чи можливо взагалі складання каталогу всіх каталогів, що не містять посилання на себе?

Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, в який входили б всі ті і тільки ті бібліографічні каталоги, які не містять посилання на самих себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе?

Цікаво відзначити, що складання каталогу всіх каталогів, що не містять посилання на самих себе, можна уявити як нескінченний, ніколи не завершується процес.

Припустимо, що в якийсь момент був складений каталог, скажімо До } , що включає всі відмінні від нього каталоги, які містять посилання на себе. Зі створенням До г з'явився ще один каталог, який не містить посилання на себе. Так як завдання полягає в тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, що не згадують себе, то очевидно, що К] не є її вирішенням. Він не згадує один з таких каталогів - самого себе. Включивши в Kj це згадка про нього самого, отримаємо каталог До 2 . У ньому згадується До } але не сам До 2 . Додавши до До 2 таку вказівку, отримаємо До 3 який знову-таки неповний через те, що не згадує самого себе. І так далі до нескінченності.

24. суперигра

Чи є описувана далі суперигра нормальної чи ні? Які інші парадокси нагадують парадокс супергри?

Назвемо гру нормальної, якщо вона завершується в кінцеве число ходів. Прикладами нормальних ігор можуть служити шахи, шашки, доміно: ці ігри завжди завершуються або перемогою однієї зі сторін, або нічиєї. Гра, яка не є нормальною, триває нескінченно, не наводячи ні до якого результату. Введемо також поняття

«Суперигра»: першим ходом такої гри є встановлення того, яка саме гра повинна гратися. Якщо, наприклад, ви і я маємо намір грати в супергру і мені належить перший хід, я можу сказати: «Давайте грати в шахи». Тоді ви у відповідь робите перший хід шахової гри, припустимо, е2-е4, і ми продовжуємо партію до її завершення (зокрема, в зв'язку з закінченням часу, відведеного турнірним регламентом). В якості свого першого ходу я можу запропонувати зіграти в хрестики-нулики і т. П. Але гра, яка мною вибирається, повинна бути нормальною; не можна вибирати гру, яка не є нормальною.

Виникає проблема: є сама суперигра нормальної чи ні? Припустимо, що це - нормальна гра. Так як першим її ходом можна вибрати будь-яку з нормальних ігор, я можу сказати: «Давайте грати в супергру». Після цього суперигра почалася, і наступний хід в ній ваш. Ви маєте право сказати: «Давайте грати в супергру». Я можу повторити: «Давайте грати в супергру», і таким чином процес може тривати нескінченно. Отже, суперигра не відноситься до нормальних ігор. Але в силу того, що суперигра не є нормальною, своїм першим ходом в суперигра я не можу запропонувати супергру; я повинен вибрати звичайну гру. Але вибір нормальної гри, що має кінець, суперечить тому доведеного факту, що суперигра не належить до нормальних.

25. Парадокс повішеного

Чи можливі несподівані події, зокрема несподівана кару?

У статті У. Куайна, опублікованій ще в 1953 р, йшлося про суддю, який засудив підсудного до несподіваної страти через повішення. Виник парадоксальне питання: чи можливі взагалі несподівані події?

Одного разу вранці в неділю суддя, який ніколи не брехав, повідомив засудженому до страти: «Ви будете повішені в один з днів на наступному тижні. Коли саме вас повісять, ви дізнаєтеся тільки вранці в день вашої страти ».

Засуджений став міркувати таким чином.

Страта не може відбутися наступної неділі, в останній день зазначеного суддею терміну: якщо вона не відбулася до цього дня, то про те, що вона відбудеться в неділю, я буду знати вже в суботу ввечері. Значить, мене не можуть повісити в неділю, оскільки кара, як сказав суддя, буде несподіваною і я дізнаюся про неї тільки в ранок дня страти.

Але в суботу мене теж не можуть повісити: оскільки я знаю, що в неділю мене не повісять, то якщо в п'ятницю вранці до мене не прийдуть з оголошенням про страту, вже вдень в п'ятницю я буду твердо знати, що мене повісять в суботу. Страта знову-таки не виявиться несподіваною.

Міркуючи таким чином, засуджений виключив послідовно п'ятницю, четвер, середу, потім вівторок і, нарешті, понеділок. У підсумку він прийшов до висновку, що його взагалі не можуть повісити, оскільки жоден день тижня не задовольняє умові несподіванки, вказаною суддею.

Про парадоксі повішеного написано стільки робіт, що він буквально потонув у морі чорнила. Запропоновано самі різні версії цього парадоксу: з кулею, який захований в одному з декількох ящиків; з тигром, що сидить за однією з закритих дверей, і т. п.

Не ставлячи перед собою великої мети рішення парадоксу (хоча і вона не виключена), спробуйте відтворити міркування засудженого, що кара не може виявитися несподіваною ні в одні з днів майбутнього тижня і, отже, вона взагалі не відбудеться.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >