ВЛАСТИВОСТІ МНК-ОЦІНОК КОЕФІЦІЄНТІВ РЕГРЕСІЇ
А А
Як вже зазначалося вище, оцінки параметрів 0 () і 0, є безперервними випадковими величинами, які володіють відповідними характеристиками. Зараз нас будуть цікавити такі характеристики, як математичне очікування і дисперсія.
Неважко помітити, що математичне очікування оцінок параметрів збігається зі справжніми значеннями цих параметрів, тобто МНК-оцінки є незміщеними:
Для зручності подальшого викладу введемо додаткове позначення
з урахуванням якого можна легко записати:
Тоді дисперсії оцінок будуть визначатися як
А
Як очевидно з цих співвідношень, дисперсії оцінок 0 () і 0, залежать від дисперсії помилки а 2 , крім цього на точність визначення цих оцінок також впливає і розташування точок, в яких проводилися вимірювання.
Знання дисперсій оцінок дозволяє проводити їх порівняння за точністю - точнішим оцінкам відповідає менша дисперсія. З цієї точки зору МНК-оцінки мають ряд корисних властивостей, сформульованих у вигляді теореми Гаусса - Маркова [47, 19, 28].
Теорема Гаусса - Маркова.
Для регресійній моделі
де для випадкової помилки виконані умови :
А А
оцінки 0 Про і 0 ,, отримані по МНК , мають найменшу дисперсію в класі всіх лінійних (по г / ; .) незміщене оцінок.
Доказ теореми можна знайти, наприклад, в роботі [19].
Слід обов'язково зазначити, що тут мова йде тільки про лінійних оцінках. Іншими словами, ніхто не гарантує, що не існує нелінійної несмещенной оцінки з дисперсією меншою, ніж у МНК-оцінки. Те ж саме можна сказати і про зміщених оцінках.
