ПРОГНОЗУВАННЯ В РЕГРЕСІЙНИХ МОДЕЛЯХ

Якщо після перевірки рівняння регресії на значущість було встановлено, що воно є придатним для практичного використання, то рівняння може застосовуватися для побудови різних прогнозів. Тут слід зазначити, що зазвичай термін « прогнозування » використовується в тих випадках, коли потрібно передбачити стан об'єкта, що спостерігається в майбутньому. Для регресійних моделей він має більш широке значення. Тут може виникнути потреба оцінити значення залежної змінної для деякого заданого, часто відсутнього у вихідних даних значення незалежної змінної. Саме в сенсі побудови оцінки залежною змінною і слід розуміти прогнозування в економетрики.

Зазвичай розрізняють точкове і інтервальне прогнозування. У першому випадку потрібно обчислити конкретне число - очікуване значення залежної змінної, у другому - з певними інтервалами, в якому з відомою довірчою ймовірністю знаходиться істинне значення залежної змінної. Виділяють також безумовне і умовне прогнозування в залежності від того, задані чи цікавлять нас пояснюючі змінні точно або з похибкою.

Умовне прогнозування буде розглянуто в підпункті 4.10.2, тут же обмежимося безумовним прогнозуванням.

Припустимо, нам задано певне значення незалежної змінної х п і при такому значенні потрібно спрогнозувати значення залежної змінної. Точковий прогноз може бути дуже просто обчислений за рівнянням регресії шляхом підстановки х п замість незалежної змінної:

В силу того, що ймовірність попадання в будь-яку точку дорівнює нулю, фактичне значення залежної змінної у п при заданому значенні х п ніколи в точності не співпаде з точковим прогнозом у п . Тому на практиці точковий прогноз завжди слід доповнювати розрахунком стандартної помилки прогнозу а ;> і інтервальним прогнозом.

Для заданого рівня "довірчої ймовірності (1 - а) при відомій стандартної помилку а. Справжнє значення залежної змінної буде перебувати в інтервалі

де? кр - критичне значення, знайдене за таблицями квантиль розподілу Стиодента.

Для оцінки стандартної помилки прогнозу підставимо оцінку (3.6) в рівняння регресії і отримаємо

або

Звідси неважко помітити, що дисперсія прогнозу може бути виражена таким чином:

З математичної статистики відомо, що Замінюючи невідоме значення а 2 на його оцінку S 2 , отримаємо

Після підстановки виразів (3.17) і (3.37) в формулу (3.36) і вилучення квадратного кореня отримаємо оцінку стандартної помилки прогнозу відгуку в точці х п :

З виразу (3.38) очевидно, що значення стандартної помилки прогнозу явно залежить від точки х п , в якій будується прогноз, а якщо говорити більш точно, то від різниці (х і - J). Чим більше ця різниця, тим більше стандартна помилка прогнозу і нижче точність прогнозування. Найменше значення стандартної помилки відповідає точці п - х ), саме в околиці цієї точки і досягається найвища точність прогнозування. Що стосується довірчого інтервалу для у п , то, як очевидно з формули (3.35), його ширина безпосередньо залежить від стандартної помилки прогнозу. На рис. 3.4 показано, як будуть змінюватися межі довірчого інтервалу в залежності від прогнозної точки при фіксованому рівні довірчої ймовірності (саме з цієї ймовірністю істинне значення відгуку буде перебувати в зазначених межах).

Зміна довірчої ймовірності має суттєвий вплив і на інтервальний прогноз: при її збільшенні ширина довірчого інтервалу повинна зростати, а при зменшенні - скорочуватися.

Довірчий інтервал рівняння регресії

Мал. 3.4. Довірчий інтервал рівняння регресії

Від тільки що розглянутої ситуації принципово відрізняється випадок, коли потрібно зробити прогноз за умови, що немає твердої впевненості в справедливості структури моделі. Таке можливо, якщо у регресійній моделі під випадковою помилкою е мається на увазі не тільки помилка вимірювання, але і сукупний вплив неврахованих факторів. В цьому випадку відмінність полягає в тому, що оцінка стандартної помилки прогнозу повинна обчислюватися так:

Неважко помітити, що якщо при розрахунку довірчого інтервалу замість формули (3.38) використовувати (3.39), то його ширина збільшиться.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >