ПОБУДОВА МОДЕЛІ СЕЗОННОСТІ

Тепер припустимо, що в часі ряду не спостерігається довгострокової тенденції, але мають місце періодичні зміни. У цьому випадку модель тимчасового ряду повинна містити в собі або функцію сезонності, яку функцію циклічності, або обидві ці функції одночасно. При побудові функцій сезонності і циклічності використовуються одні й ті ж методи, тому розглянемо тільки випадок наявності сезонних коливань. Запишемо модель тимчасового ряду

Для побудови функції сезонності S (t) існує безліч підходів. Перерахуємо найпростіші з них:

  • • обчислення індексів сезонності;
  • • використання відомих періодичних функцій;
  • • використання фіктивних змінних;
  • • використання рядів Фур'є.

Як уже зазначалося, функція S (t) є періодичною. Оцінка періоду являє собою окрему задачу. Часто період сезонної функції можна визначити з постановки завдання. Однак в деяких випадках потрібне застосування спеціальних досить складних методів, наприклад, теорії спектрального аналізу [49]. Виклад цих методів виходить за рамки даного підручника, тому будемо вважати, що період нам відомий. Позначимо через Р кількість сезонів в періоді. Ця величина визначається специфікою вихідних даних або завданнями аналізу. Наприклад, при розгляді щоквартальних даних по споживанню теплової енергії стає очевидним, що період сезонних коливань дорівнює року, а кількість сезонів Р = 4. Якщо ж дані по споживанню теплової енергії представлені за кожен місяць, то період, як і раніше дорівнює одному року, а кількість сезонів Р - 12.

Найпростішим способом завдання функції сезонності є табличний (табл. 7.1).

Таблиця 7.1

Табличне представлення сезонної функції S (t)

номер сезону

1

2

р

сезонний індекс

St

s 2

S P

Традиційно припускають, що всі сезонні впливу за період взаімоіогашаю гся:

З огляду на цю умову і беручи до уваги той факт, що реальні часові ряди, як правило, мають ненульові математичні очікування, замість моделі (7.1) доцільно розглядати модель виду

Перший підхід полягає в оцінюванні сезонних індексів 5. як середніх відхилень елементів часового ряду від оцінки математичного очікування:

де M j - безліч моментів часу, відповідних i-го сезону; т i - кількість елементів у множині М } ; а - оцінка математичного очікування тимчасового ряду.

Якщо обчислені таким чином сезонні індекси не взаимопогашающиеся, тобто

то необхідно перейти до скоригованими індексам:

Другий підхід передбачає подання сезонної функції у вигляді різних лінійних комбінацій елементарних періодичних функцій, наприклад:

Після підстановки виразу (7.3) в формулу (7.2) отримуємо регресійні рівняння, параметри якого можна оцінити методом найменших квадратів. Складність полягає в тому, що невідомі параметри входять в отримане регресійне рівняння нелінійно, що робить непридатними стандартні процедури МНК, орієнтовані на лінійні моделі.

Суть третього підходу полягає у використанні набору фіктивних змінних ( змінних-індикаторів ), що включаються в функцію сезонності:

де 2., / = 1,2, ..., Р - фіктивні змінні, значення яких визначаються за правилом

Такий підхід є, з одного боку, дуже гнучким, з іншого - досить складним, так як вимагає залучення спеціального математичного апарату для оцінювання невідомих параметрів моделі (7.4) [9, 27, 68].

Четвертий підхід заснований на тому факті, що будь-яку періодичну функцію можна представити у вигляді ряду Фур'є [49, 53]:

З точки зору формального аналізу вираз (7.5) являє собою розкладання функції S (t) в нескінченний ряд по періодичним функцій з частотами коливань (про ку кратними деякої базової круговій частоті зі 0 .

Практичне використання (7.5) передбачає обчислення деякої часткової суми ряду, порядок якої визначається виходячи з аналізу значень так званих спектральних характеристик досліджуваного процесу [49].

Для обчислення коефіцієнтів розкладання (7.5) застосовується теорія дискретного перетворення Фур'є, згідно з якою оцінки значень сезонної компоненти обчислюються як

а в якості оцінок параметрів розкладання використовуються величини

Існує велика кількість модифікацій вираження (7.6) [71], що застосовуються, наприклад, для обмежених часових рядів (т <x (t) <М, т, М = const). В цьому випадку базова кругова частота замінюється на

На практиці велике значення має визначення числа елементів розкладання Фур'є для адекватного опису

функції S (t). Згідно (7.6) ця величина дорівнює

Очевидно, що даний період, як правило, виявляється менше цієї величини. Тому після побудови розкладу (7.6) слід залучити методи спектрального аналізу [49, 71] для виділення тих гармонік, які роблять значущий вплив на величину S (t).

Перевагою підходу Фур'є слід вважати його універсалізм, тобто можливість отримання прийнятних результатів для часових рядів будь-якої природи і з довільними властивостями. До недоліків можна віднести деяку громіздкість обчислень і певні проблеми, пов'язані з неоднозначністю визначення порядку часткових сум, що застосовуються для апроксимації сезонної компоненти.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >