КРИТЕРІЙ ДАРБІНА - УОТСОНА
Одним з найпростіших, а тому широко застосовуються на практиці критеріїв перевірки на наявність (відсутність) автокорреляции є критерій Дарбіна - Уотсона
[2, 11,19, 281. Цей критерій базується на статистиці Дар- біна - Уотсона виду
Використання статистики (7.12) засновано на тому факті, що її можна представити в наступному вигляді:
При великих N останнім доданком можна знехтувати. З урахуванням цього можна записати
де г (1) - значення автокореляційної функції ряду залишків, обчислене для 7 = 1. Величину г (1) часто називають коефіцієнтом автокореляції першого порядку.
Виходячи з властивостей автокореляційної функції, можна визначити, що область допустимих значень для статистики (7.13) має вигляд
Далі неважко встановити відповідність значень статистики Дарбіна - Уотсона значенням коефіцієнта автокореляції. При повній позитивної автокореляції (/ (1) = 1) статистика Дарбіна - Уотсона дорівнює нулю, а при повній негативній автокореляції (r (1) = -1) - чотирьом. При повній відсутності автокореляції першого порядку (г (1) = 0) статистика Дарбіна - Уотсона дорівнює двом. Ці властивості дозволяють висунути і перевірити гіпотезу про відсутність в залишках автокорреляции першого порядку:
Гіпотеза (7.14) має дві альтернативи:
Для перевірки гіпотези (7.14) інтервал можливих значень статистики Дарбіна - Уотсона за допомогою критичних значень d L і ^ розбивається на п'ять відрізків (рис. 7.7). Значення d L і d v визначаються за таблицями Дарбина - Уотсона для заданого числа спостережень, числа регресорів моделі і ймовірності помилки а (див. Додаток).
Мал. 7.7. Критичні області статистики Дарбіна - Уотсона
Якщо значення статистики d потрапляє в критичну область «А + », то гіпотеза (7.14) відкидається на користь альтернативи Ну
Якщо значення статистики d потрапляє в критичну область «А 0 », то гіпотеза (7.14) не відкидається.
Якщо значення статистики d потрапляє в критичну область «А - », то гіпотеза (7.14) відкидається на користь альтернативи # 2 .
Дві що залишилися області [d r d ( ] і [4 - d [p 4 - d { є областями невизначеності, тому що якщо значення статистики d потрапляє в них, то ніяких статистично обґрунтованих висновків про наявність або відсутність автокореляції в залишках зробити не можна.
Слід зазначити, що критерій Дарбіна - Уотсона дозволяє отримувати достовірні результати тільки за умови, що залишки, використані в розрахунках статистики d, отримані після застосування методу найменших квадратів і при великих обсягах вибірки. В іншому випадку співвідношення (7.13) буде порушено, і перевіряти гіпотезу (7.14) описаним способом не можна.
Критерій Боксу - Пірса
На практиці можуть існувати автокорреляции в залишках не тільки першого, але і більш високих порядків. Очевидно, що критерій Дарбіна - Уотсона в таких випадках нс застосуємо.
Розглянемо гіпотезу про відсутність автокореляції до порядку р :
Для перевірки цієї гіпотези використовується статистика Боксу - Пірса [19], яка має вигляд
де
- вибірковий коефіцієнт автокореляції j -го порядку, що показує тісноту лінійності зв'язку між залишками, віддаленими одна від одної на j моментів часу.
Гіпотеза (7.15) відкидається, якщо Q> % 2р (1-а, р), де Х ^ (1 - а, р) - критичне значення, яке визначається за статистичними таблицями% 2 -розподіленого для р ступенів свободи і ймовірності помилки а.
Критерій Льюінга - Боксу
Цей критерій є модифікацією критерію Бокса - Пірса 1191, що дає більш коректні висновки для вибірок малого обсягу. Тестова статистика цього критерію має вигляд
Для перевірки гіпотези (7.15) необхідно порівняти обчислену статистику Q ' з критичним значенням xf (1-а, р), яке визначається за статистичними таблицями х 2 -розподіленого з р ступенями свободи і ймовірністю помилки а. Якщо виявляється, що Q '> % 2р (1 - ос, р), то гіпотеза (7.15) повинна бути відкинута. В іншому випадку гіпотеза про відсутність автокореляції не вище порядку р не відкидається.
