ПОБУДОВА МОДЕЛІ ЗАЛИШКІВ (ПОМИЛОК)

Процедури, розглянуті в підпункті 7.3.2, дозволяють знизити ефект тільки автокорреляции першого порядку. У загальному випадку рішення проблеми автокореляції полягає в побудові моделі залишків. У економетрики застосовується велика кількість різноманітних моделей такого типу. Розглянемо найбільш прості з них.

Модель авторегресії

У моделі авторегресії порядку р передбачається, що поточне значення ряду залишків e (t ) лінійно залежить від р попередніх значень цього ж ряду. Таку залежність можна представити у вигляді регресійного рівняння:

де а ,, а 2 , ..., а /; - невідомі параметри; e (t - 1), e (t - 2), ..., e (t - р) - лагові значення залишків; і (1;) - випадкова помилка, для якої справедливі наступні припущення:

У економетричної літературі модель (7.20) прийнято позначати AR (p) ] . Для побудови такої моделі необхідно знання р початкових значень часового ряду.

Властивості моделі (7.20) істотно залежать від того, які з лагових змінних в ній присутні, які конкретні значення і знаки коефіцієнтів а ; . Наприклад, для моделі AR ( 1)

де u (t ) - незалежні випадкові помилки, що підкоряються стандартного нормального розподілу ( u (t ) ~ А г (0, 1)), при ох, = 0,8 коррелограмми мають вигляд, представлений на рис. 7.8, а, б.

При зміні знака параметра, відповідного ла- говой змінної, вид коррелограмм принципово зміниться (рис. 7.9, а, б).

Розглянемо поведінку моделі (7.21) за умови, що початковий стан ряду дорівнює одиниці, тобто е (1) = 1. Тоді [1]

Графіки автокорреляционной (а) і приватної автокореляційної (б) функцій для моделі (7.21) при а, = 0,8

Мал. 7.8. Графіки автокорреляционной (а) і приватної автокореляційної (б) функцій для моделі (7.21) при а, = 0,8

Очевидно, що сукупний вплив початкового стану визначається як сума

Ряд (7.22) як ряд геометричної прогресії буде сходитися тільки в тому випадку, коли | ос, | <1. Его умова називається умовою збіжності моделі AR ( 1). воно є

Графіки автокорреляционной ( а ) і приватної автокореляційної (б) функцій для моделі (7.21) при а, = -0,8

Мал. 7.9. Графіки автокорреляционной ( а ) і приватної автокореляційної (б) функцій для моделі (7.21) при а, = -0,8

необхідною умовою стаціонарності моделі часового ряду (7.21).

Слід окремо розглянути ситуацію, коли оц = 1. Що виникає в цьому випадку модель

отримала власну назву - модель випадкового блукання. На рис. 7.10, а представлено кілька можливих реалізацій цієї моделі при u (t) ~ N ( 0, 1).

Типові коррелограмми, відповідні будь-який з цих реалізацій, представлені на рис. 7.10, б, в.

Приклади реалізацій випадкового блукання (а) і графіки автокорреляционной (б) і приватної автокореляційної (в) функцій для моделі випадкового блукання

Мал. 7.10. Приклади реалізацій випадкового блукання (а) і графіки автокорреляционной (б) і приватної автокореляційної (в) функцій для моделі випадкового блукання

Зіставлення коррелограмм моделі випадкового блукання і моделі тренда (див. Рис. 6.6, б, в) дозволяє відзначити, що спостерігається явне схожість в їх структурі. Тому модель випадкового блукання в літературі часто називають моделлю стохастичного тренду. Випадкове блукання не є стаціонарним випадковим процесом, оскільки в цій моделі дисперсія відгуку непостійна і залежить від часу:

Модель (7.21) при | а, |> 1 також отримала власну назву - вибухова авторегресія. Однак в силу ряду особливих властивостей вона майже не використовується на практиці [2, 19J.

Перейдемо до розгляду моделі AR ( 2)

де u (t) - незалежні випадкові помилки, що підкоряються стандартного нормального розподілу. У цій моделі, як і в моделі AR ( 1), знак параметра а 2 робить істотний вплив на вигляд коррелограмм. Зокрема, при а 2 = 0,8 коррелограмми мають вигляд, представлений на рис. 7.11, а, б, а при а 2 = -0,8 - на рис. 7.12, а , б.

Графіки автокорреляционной ( а ) і приватної автокореляційної (б) функцій для моделі (7.23) при а  = 0,8

Мал. 7.11. Графіки автокорреляционной ( а ) і приватної автокореляційної (б) функцій для моделі (7.23) при а 2 = 0,8

Графіки автокорреляционной ( а ) і приватної автокореляційної (б) функцій для моделі (7.23) при а  = -0,8

Мал. 7.12. Графіки автокорреляционной ( а ) і приватної автокореляційної (б) функцій для моделі (7.23) при а 2 = -0,8

Міркуючи аналогічно, можна показати, що стационарность в моделі (7.23) досягається при виконанні умови | а 2 1 <1. В загальному вигляді для моделі AR (p) (7.20) виконання умов

недостатньо для її стаціонарності. Умова стаціонарності таких моделей полягає в тому, що всі корені рівняння

лежать поза одиничного кола: | z |> 1 [2, 19].

  • [1] Від англ. AutoRegressive model of order p.
 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >