КРИТЕРІЙ НЕЙМАНА - ПІРСОНА

Одним з недоліків критерію Жака - Бера є го, що він орієнтований на вирішення питання про нормальність

розподілу на основі тільки зовнішніх статистичних характеристик вибірки моментного типу. На практиці значний інтерес представляє вивчення внутрішньої структури вибірки. Для цієї мети використовується апарат частотних характеристик, що включає в себе визначення і аналіз значень абсолютних, відносних і накопичених емпіричних частот.

Дослідження внутрішньої структури вибірки починається з виділення класів однорідності, кількість яких може бути визначено за допомогою формули Стер- Джеса (8.4). Кількість елементів вибірки, що потрапляють в кожен з До класів, визначає значення абсолютних емпіричних частот В., i = 1, К.

Кожному класу відповідає інтервал вибіркових значень, ширина якого (однакова для всіх інтервалів) визначається наступним чином:

де Д = (x _max - x _min ) - розмах варіювання фактора X.

Межі інтервалів [/ _ _1? / _; .) Визначаються співвідношенням /. = X _min + ib, де i - номер інтервалу, 2 = 1, ..., К. При цьому вибіркові значення, рівні х _тах , включаються в останній інтервал.

Значення статистики Неймана - Пірсона х ² обчислюється за формулою

де? - очікувана абсолютна частота, яка обчислюється в припущенні справедливості гіпотези (8.10).

З теорії ймовірностей [44] відомо, що функція щільності нормального розподілу має вигляд

Тоді очікувана частота потрапляння в i-й інтервал дорівнює

де Ф (г, х, S ² ) - значення функції нормального розподілу, обчислене в точці р Для обчислення значень функції Ф (г, х _у S ² ) можна скористатися таблицею стандартного нормального розподілу [7] (див. додаток).

При цьому слід врахувати, що

Надійність результатів, одержуваних за критерієм% ² , істотно залежить від обсягу вибірки N, оскільки реальні значення статистики% ² будуть близькі до критичних тільки при значно більших значеннях N. Тому при малих обсягах вибірки необхідно перевіряти наступне емпіричне умова [56]: значення теоретичних частот попадання в інтервали повинно бути не менше п'яти. Якщо ця умова порушується, то необхідно провести об'єднання класів таким чином, щоб новоутворені класи задовольняли емпіричному умові. Результати розрахунку критерію зводяться в табл. 8.1.

Таблиця 8.1

Допоміжна таблиця для обчислення значення статистики% ²

При справедливості гіпотези згоди з нормальним розподілом статистика у} має розподіл% ²cv = K-3 ступенями свободи. Тому гіпотеза про згоду з нормальним розподілом (8.10) відкидається з довірчою ймовірністю у = 1 - а, якщо% ² >% ²р (а, v).

КРИТЕРІЙ КОЛМОГОРОВА - СМИРНОВА

Інший спосіб перевірки гіпотези (8.10), заснований на використанні частотних вибіркових характеристик, надає критерій Колмогорова - Смирнова [7]. Він, на відміну від критерію Неймана - Пірсона, передбачає аналіз кумулятивних (накопичених) емпіричних частот.

Перевірку гіпотези (8.10) за критеріями Колмогорова - Смирнова і Неймана - Пірсона зручно проводити спільно, оскільки накопичені частоти, використовувані в попередньому критерії, легко визначаються але даними табл. 8.1:

де FB _j і FE _j - кумулятивні частоти емпіричного і нормального розподілу відповідно.

На основі цих частот обчислюється статистика Колмогорова - Смирнова

Значення статистики (8.11) порівнюють з критичним значенням KS ( а, N ) розподілу Колмогорова - Смирнова (див. Додаток). Якщо KS> KS (а, N ), то гіпотеза (8.10) відкидається з імовірністю помилки а.