МЕТОДИ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ

При оцінюванні невідомих параметрів 0. і а * моделі (9.22), (9.23) спочатку, як правило, визначають оцінки компонент дисперсії про 2?, Знаючи які, можна обчислити ОМНК-оцінки фіксованих параметрів за відомою формулою

де

Крім узагальненого методу найменших квадратів для оцінювання параметрів моделі (9.22) можуть бути використані і інші підходи [79]. Отримувані при цьому оцінки тісно пов'язані з оцінками компонент дисперсії. В даний час розроблено безліч методів оцінювання компонент дисперсії. Розглянемо деякі найбільш відомі з них [82, 27, 98].

Оцінки дисперсійного аналізу. Ідея побудови оцінок дисперсійного аналізу, або ANOVA-оцінок 1 , полягає в побудові таблиці, в яку заносяться спеціальним чином вибрані суми квадратів і їх математичні очікування, які є, в свою чергу, лінійними комбінаціями компонент дисперсії [27]. Прирівнювання обчислених сум квадратів їх математичним очікуванням дає систему лінійних алгебраїчних рівнянь, рішенням якої і є ANOVA- оцінки. У разі якщо вихідні дані не мають пропусків ( збалансована панель ), ці оцінки мають властивість незсуненості і мають мінімальну дисперсію серед всіх квадратичних незміщене оцінок, а в припущеннях нормальності - серед взагалі всіх незміщене оцінок. При порушенні властивості збалансованості даних ANO Й4-оцінки втрачають деякі хороші статистичні властивості, зберігаючи тільки Незміщеність. В цьому випадку оцінки вже не можна отримати простим прирівнянням обчислених середніх квадратів їх математичним очікуванням. Тут система рівнянь може бути побудована на основі інших квадратичних форм. Ідеї цього підходу лежать в основі побудови внутрішньогрупових і міжгрупових оцінок, методу симетричних сум і алгоритмів Хендерсона [90, 92, 103, 104].

Найбільш універсальним алгоритмом побудови ANО КЛ-оцінок є третій алгоритм Хендерсона 1103]. Для моделі (9.22) і (9.23) оцінки компонент дисперсії, отримані за цим алгоритмом, мають такий вигляд:

де

Оцінки максимальної правдоподібності. Іншим підходом до оцінювання параметрів моделі з випадковими ефектами є метод максимальної правдоподібності . Суть цього методу полягає в максимізації функції правдоподібності, що залежить від параметрів моделі (9.22), (9.23). Оцінки максимальної правдоподібності , або скорочено ML-оцінки 1 , є заможними і асимптотично ефективними. Проте ML-оцінки мають ряд недоліків, зокрема необхідність фіксації функції розподілу вектора спостережень, відсутність властивості незсуненості і те, що всі хороші статистичні якості оцінок досягаються в асимптотиці [90]. У припущенні про багатовимірний нормальний розподіл вектора спостережень функція правдоподібності набуває вигляду

Необхідні умови існування максимуму функції правдоподібності визначають систему рівнянь максимальної правдоподібності. Якщо позначити Л = logl, то система рівнянь максимальної правдоподібності приймає наступний вигляд:

де

Рівняння (9.28) може бути дозволено щодо

Рішенням рівняння (9.27) є оцінка (9.24).

В роботі [90] для пошуку оцінок максимальної правдоподібності була запропонована наступна итерационная процедура.

Крок 1. Здається деяке початкове наближення вектора у (0 за допомогою якого обчислюються оцінки (9.24), (9.28).

Д ^ д Л

Крок 2. Отримані оцінки а, 0 і а ь . підставляються в рівняння (9.29). Рішенням рівняння (9.29) є нове значення / Ч для якого знову виконуємо крок 1.

Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки не буде досягнута задана точність.

Оцінки обмеженого максимальної правдоподібності. Незміщеної модифікацією оцінок максимальної правдоподібності є оцінки обмеженого максимальної правдоподібності, скорочено - REML- оцінки 1 [88]. Ідея даного підходу полягає в наступному 5-перетворенні вектора спостережень:

де

Вектори Zj і Z 2 незалежні в силу ортогональності матриць S і X. Логарифмічні функції правдоподібності для них можуть бути записані таким чином:

з

Розподіл вектора Z, не залежить від постійних ефектів, тому при максимізації виходять оцінки, інваріантні до зміни постійних параметрів.

Однак оптимізація вираження (9.31) може бути утруднена, якщо матриця SQ.S виродилися. Уникнути цього дозволяє введене в роботі [881 альтернативне Г-іреобразованіе. Матриця Т задається таким чином, щоб зберігалося умова ортогональності

крім того, матриці Т і S пов'язані між собою співвідношенням

При заміні S на Т функція Х 2 не змінюється, а Х х набуває вигляду

Оцінки, одержувані максимизацией функції (9.32), є оцінками обмеженого максимальної правдоподібності.

Ще один підхід до оцінювання компонент дисперсії було розглянуто К. Р. Рао | 98 |, який запропонував шукати оцінки у вигляді квадратичних форм вектора спостережень Y T AY з невідомої матрицею А. Елементи цієї матриці визначаються як рішення деякої оптимізаційної задачі, а вимоги до властивостей оцінок враховуються як обмеження відповідної оптимізаційної процедури. Результатом застосування такого підходу стали оцінки мінімальної норми , скорочено - M / iVQ-оцінки 1 . Як оптимизируемого функціоналу при побудові цих оцінок використовується різниця (в сенсі евклідової норми різниці відповідних матриць) між шуканої оцінкою і деякої гіпотетичної «природною» оцінкою, побудованої за істинним значенням випадкових ефектів. Для обчислення MINQ -оценок необхідна інформація про справжні значеннях компонент дисперсії у вигляді деяких апріорних значень. Природно припустити, що найкращих результатів можна досягти, якщо апріорні значення компонент дисперсії будуть збігатися з істинними значеннями. На практиці така ситуація нереальна.

Тому очевидно, що оцінки, запропоновані Рао, є локально оптимальними, тобто залежать від вибору початкового наближення. Крім того, ці оцінки є незміщеними, а при виконанні властивості симетричності закону розподілу вектора спостережень MINQ -оцінки мають мінімальну дисперсію в класі квадратичних оцінок, тобто є ефективними в цьому класі оцінок.

Для моделі (9.22), (9.23) MINQ-оцінки мають такий вигляд:

де

На жаль, обчислення оцінок компонент дисперсії вимагає застосування спеціалізованих економетричних програмних пакетів, тому найчастіше на практиці використовують найпростіші оцінки компонент дисперсії, придатні тільки для збалансованих панельних даних [19, 28, 35]. Відзначимо, що перевірку значущості фіксованих параметрів моделі (9.21) слід проводити на основі методів дисперсійного аналізу.

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >