КРИТЕРІЇ, ЩО ВІДОБРАЖАЮТЬ ТОЧНІСТЬ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ

Оскільки однозначною характеристикою будь-якого плану експерименту є відповідна йому інформаційна матриця, то багато статистичні критерії логічним чином представляються як функціонали від інформаційної (або дисперсионной) матриці [24].

План!; * Називається D-оптимальним, якщо відповідна йому дисперсійна матриця має найменшим можливим значенням визначника (або, що те ж саме, відповідна інформаційна матриця має найбільшу можливим значенням визначника), тобто

План називається А-оптимальним, якщо відповідна йому дисперсійна матриця має найменшим значенням сліду, тобто

План називається Е-оптимальним, якщо найбільше

власне значення відповідної йому дисперсионной матриці мінімально, тобто

План називається Л оптимальним , якщо сума квадратів відхилень власних чисел відповідної йому дисперсионной матриці від середнього їх значення мінімальна, тобто

Еліпсоїд розсіювання оцінок параметрів

Мал. 10.1. Еліпсоїд розсіювання оцінок параметрів

Критерії, що відображають точність оцінок параметрів, мають зручну геометричну інтерпретацію, засновану на понятті еліпсоїда розсіювання оцінок. Як зазначено в роботі [15], вектор оцінок параметрів 0 є випадковим і має деякий розподіл ймовірностей Р (х, 0) з математичним очікуванням /; | 0 | = 0 і ковариационной матрицею D (Q) в просторі параметрів. Якщо необхідно порівняти якість різних оцінок параметрів одного і того ж рівняння регресії, слід, в першу чергу, порівняти властивості відповідних їм розподілів, що в більшості випадків являє собою складну статистичну задачу, часто не має однозначного вирішення. Тому часто на практиці застосовують так званий метод Крамера [15], згідно з яким слід замінити вихідне розподіл еквівалентним йому (в сенсі рівності перших двох моментів) рівномірним розподілом по деякій області простору параметрів. Цей прийом дозволяє порівнювати між собою не самі вихідні розподілу, а розміри і конфігурації областей параметричного простору, в межах яких діють еквівалентні розподілу (рис. 10.1, k = 2).

При реалізації того чи іншого плану експерименту еліпсоїд розсіювання буде мати вигляд, певний властивостями вихідного плану. Отже, оптимальність по конкретному критерію буде відповідати тому, що конфігурація еліпсоїда буде приймати цілком конкретний вид, що і буде геометричній інтерпретацією критерію оптимальності.

Для наведених вище критеріїв має місце наступна інтерпретація:

  • • D-оптимального плану відповідає еліпсоїд розсіювання з найменшим можливим обсягом;
  • • Л-оптимального плану відповідає еліпсоїд розсіювання з найменшими габаритними розмірами або, що те ж саме, з найменшою середньою дисперсією найкращих лінійних оцінок параметрів;
  • • ^ оптимальний плану відповідає еліпсоїд розсіювання з найменшою максимальною полуосью;
  • • А-оптімалиюму плану відповідає еліпсоїд розсіювання з найбільш кулястою формою.
 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >