КРИТЕРІЇ, ЩО ВІДОБРАЖАЮТЬ ТОЧНІСТЬ МОДЕЛІ

Іншим підходом до формування статистичних критеріїв оптимальності є побудова таких планів експерименту, при реалізації яких отримана інформація дозволяла б найкращим можливим способом оцінити не окремі компоненти моделі (параметри), а всю модель цілком. Це критерії, що відображають точність моделі і засновані на мінімізації відхилення функції регресії від справжньої (невідомої експериментатору) функції [24].

План називається G-оптимальним , якщо він забезпечує найменшу по всім планам максимальну величину дисперсії передбачених значень в області планування X, тобто якщо вірно

Перетворимо формулу (10.9) з метою висловлення критерію через інформаційну матрицю:

Таким чином, G-оптимальний план мінімізує величину

Розглянемо більш уважно вираз (10.10). Воно містить максимізацію деякої функції, визначеної на області планування X, яка залежить як від виду регресійній моделі, гак і від отриманих в ході експерименту даних, що містяться в інформаційній матриці. В силу своєї природи функція

отримала назву функції дисперсії в точці х ₀ для плану оскільки вона показує величину дисперсії прогнозу в точці х ₀ . На основі функції (10.11) можлива побудова ще декількох критеріїв оптимальності, що відображають точність моделі. Наприклад, якщо досліднику з якої-небудь причини потрібно побудувати таку модель, за якою найкращий прогноз будувався б в заздалегідь заданій точці х ₍₎ , то в залежності від розташування точки х ₀ можна використовувати наступні критерії.

План q * називається оптимальним згідно критерію інтерполяції в точку х _{) , якщо

де х ₀ е X, тобто коли вибирається точка з області планування.

План видання, * називається оптимальним згідно критерію екстраполяції в точку х ₀ , якщо вірно вираз (10.12), а х ₀ € X, тобто коли вибирається точка, яка не належить області планування.

Критерій екстраполяції дозволяє робити якісний прогноз для тих значень факторів, які з яких-небудь причин (обмеженням експерименту) недоступні для проведення експериментів. Якщо ж потрібно отримати якісний прогноз не для однієї точки х ₀ , а для цілої області Х ₀ , званої областю операційного інтересу дослідника, що містить як точки області планування, так і не належать їй точки, будується наступний план.

План називається оптимальним згідно критерієм планування по області операційного інтересу Х ₀ , якщо вірно

Відзначимо, що якщо Х ₀ = 30, тобто коли область операційного інтересу збігається з областю планування, критерій (10.13) редукується до критерію G-оптимальності.

Слід зауважити, що для D- і G-оптимальних планів справедлива теорема еквівалентності [24J.

Теорема Кіфера - Вольфовица (еквівалентності).

Наступні твердження еквівалентні '.

1) тобто план?, * є D-оптималь-

вим;

2) тобто план ? * є G-onrnu- мальн'ш ;

3) тобто максимальне значення дисперсійної функції для плану одно т.