ВИЗНАЧЕННЯ ОПТИМАЛЬНОГО ЧИСЛА ЕКСПЕРИМЕНТІВ

До сих пір ми розглядали завдання планування щодо статистичних критеріїв, не враховуючи при цьому такий важливий фактор, як вартість експериментів. Однак добре відомо, що будь-які серйозні дослідження вимагають значних витрат. Тому необхідна модифікація стандартних статистичних критеріїв, спрямована на введення в критерії оцінок вартісних компонент. В результаті такої процедури може серйозно змінитися оптимальний план, але частіше за все такий підхід призводить до природного обмеження на кількість експериментів, що проводяться згідно з визначенням точного (дискретного) плану експерименту.

Покажемо на прикладі найбільш використовуваного в теорії планування експерименту [62] критерію D-оптимальності, яким чином проводиться модифікація критерію і відповідно оптимального плану експерименту.

Розглянемо наступний функціонал:

де N - загальне число експериментів; с. - оцінна вартість одного експерименту; з 2 - питомі втрати від помилки в оцінюванні коефіцієнтів; D (i;) - нормована дисперсійна матриця плану

Поведінка функціоналу (10.15) буде цілком визначатися поведінкою його складових (доданків). Перший доданок c ^ N представляє собою пряму пропорційність, зростаючу зі збільшенням числа експериментів N. Другий доданок c., N ~ (ll + ' ) | Z) (?) | зменшується обернено пропорційно збільшенню числа експериментів, оскільки зменшується кількість корисної інформації, додає з кожним новим досвідом. Таким чином, як показано на рис. 10.3, завжди буде існувати деякий оптимальне значення N om числа експериментів, при якому найкращим чином поєднуються дві протилежні тенденції - зменшення числа експериментів з метою скорочення витрат

Графічне визначення оптимального числа експериментів і збільшення їх числа з метою збільшення кількості інформації, одержуваної при проведенні експериментів

Мал. 10.3. Графічне визначення оптимального числа експериментів і збільшення їх числа з метою збільшення кількості інформації, одержуваної при проведенні експериментів.

Вирішимо задачу визначення оптимального числа експериментів в постановці (10.15). В першу чергу відзначимо, що оскільки при будь-якому значенні N = N * величина Q (?, N *) є строго зростаючою функцією від визначника дисперсионной матриці | D (?) |, При всякому N найкращим буде план, що мінімізує визначник | D ( ?) |. Отже, можна записати, що

де - звичайний D-оптимальний план для заданої регресійній моделі (тобто відомий визначник | D (? *) |). Тепер для визначення оптимального числа експериментів обчислимо приватну похідну від виразу (10.16) і прирівняємо її до нуля:

Тоді очевидно, що при

1

Покажемо, яким чином визначається оптимальне число експериментів на прикладі квадратичної регресійній моделі. нехай

де х G іл] - область планування.

Відомі значення параметрів оптимізації: з х = 0,01, з 2 = 1. Можна показати, що D-оптимальний план для квадратичної моделі має вигляд

Інформаційна матриця цього плану визначається як

де М {х) є інформаційна матриця одного спостереження в точці х. Обчислюючи інформаційну та відповідну їй дисперсионную матриці, знайдемо визначник дисперсионной матриці плану 4 *: | ?> (? *) | = 6,749. Тоді, користуючись формулою (10.17) і враховуючи, що число оцінюваних параметрів моделі? + 1 = 3, отримаємо

Отже, оптимальне число експериментів одно 12, а оптимальний план, згідно з першим визначенням, має вигляд

 
Переглянути оригінал
< Попер   ЗМІСТ   ОРИГІНАЛ   Наст >