Навігація
Головна
 
Головна arrow Техніка arrow БІОТЕХНІЧНІ СИСТЕМИ МЕДИЧНОГО ПРИЗНАЧЕННЯ
Переглянути оригінал

ДВОСТАДІЙНА МОДЕЛЬ ЗРОСТАННЯ КЛІТИННОЇ ПОПУЛЯЦІЇ

Квазіхіміческіх опис і математична модель зростання клітинної популяції в закритій системі при відсутності інгібіторів. Розглянемо редуцированную систему квазіхіміческіх

реакцій, що дозволяє спрощено описати розвиток популяції при відсутності токсикантів і зовнішніх джерел клітин в вигляді укороченою ланцюжка (4.1) з двох стадій (зростання і ділення), доповнених стадією самоінгібірованія (двостадійна модель зростання):

В системі (4.7) використані ті ж позначення, що і в системах (4.2) - (4.6), тільки для стислості опущені індекси: С - сукупність клітин різного віку до мітозу в двухстадийной моделі; З т - материнська клітина; З а - клітина в анабіозі (спокої), С а =? З -; Mi, М 2 - субстрати.

т

У припущенні сталості кількостей субстратів Mi, М2 кінетика ланцюгового зростання ізольованої популяції, що складається з клітин З | і С т , описується системою з двох диференціальних рівнянь:

де Ci, з т - чисельність зростаючих і материнських клітин; а, Ь, р - кінетичні коефіцієнти автоінгібірованія, народження (розгалуження) і зростання (продовження) популяційної ланцюга. У коефіцієнти р і b включені постійні кількості субстратів Mi і М 2 . Для даної розділилася клітини З т коефіцієнт / дорівнює 2, що відображено в другій стадії ланцюжка зростання (4.1). У загальному випадку значення / може відрізнятися від 2.

Система рівнянь (4.8) і (4.9) має дві стаціонарні точки: (О, 0) і (с (, з ' т ), де з [= (f - 1 ) Иа; з' т = (f- 1 ) p / fa. Перша точка

(О, 0) відповідає повного вимирання популяції. Другий точці відповідає гранична чисельність популяції:

При цьому частка материнських клітин

Як правило, рівняння (4.8) описує більш швидкі зміни в порівнянні з рівнянням (4.9). У зв'язку з цим для материнських клітин С " (проміжний продукт), що становлять зазвичай невелику частку популяції, може бути застосовано квазістаціо- тиву наближення (теорема Тихонова про малий параметрі). У цьому наближенні система рівнянь (4.8) і (4.9) зводиться до рівняння

У рівнянні (4.12) введені такі позначення:

де К - гранична чисельність клітин З при з = 0.

Приватне рішення рівняння (4.12) при W = 0 має вигляд

де А - коефіцієнт, що дорівнює лівій частині рівняння (4.14); К = = Иа ; при t = 0 чисельність З] відповідає своєму початковому значенню зі = ci (0).

При відсутності токсикантів при / = 2, вирішуючи квадратне рівняння, отримуємо залежність росту клітинної популяції від часу:

де H (t) = 0,5A 0 exp (-pt) / K; А 0 = - з 0 ) 2 / с 0 При значеннях f відмінних від 2, динаміку чисельності Ci (/) популяції можна представити у вигляді явної функції часу. У зв'язку з цим доцільно використовувати зворотну функцію / (ci), одержувану логарифмування рівняння (4.14) при / = 2 або інтеграцією рівняння (4.12) за величиною С в якості незалежної змінної:

Залежності росту клітинної популяції від часу (/) і часу від зростання клітинної популяції (2) при відсутності інгібітору при параметрах, характерних для дріжджових клітин Saccharomyces cerevisae

Мал. 4.2. Залежності росту клітинної популяції від часу (/) і часу від зростання клітинної популяції (2) при відсутності інгібітору при параметрах, характерних для дріжджових клітин Saccharomyces cerevisae

На рис. 4.2 наведені залежності c (t) і t (c) при а = = 1,25 * 10 " 8 мл / год, b = 0,8 ч" 1 , р - 0,32 ч -1 , f = 2, характерних для дріжджових клітин Saccharomyces cerevisae. Криві / і 2 повністю симетричні і взаімооднозначном відображають зростання клітинної популяції. При великих часах чисельність З прагне до граничного значення з [ = К (стаціонарна точка системи).

Квазіхіміческіх опис і математична модель дії інгібіторів і промоторів на зростання клітинної популяції у відкритій системі. Ускоряющее (промотування) і призвела до затримки (інгібування) дії різних речовин на швидкість радикально-ланцюгових реакцій добре вивчено як в теоретичному, так і в експериментальному плані.

Вплив хімічних речовин на біосистеми інтенсивно досліджується з XX ст. в зв'язку з фармакологічними і екологічними проблемами. Накопичено величезний експериментальний матеріал по токсікометріческім характеристикам різних речовин (наприклад, граничні допустимі концентрації і летальні дози).

Однак в теоретичному плані ці питання вивчені недостатньо. Зокрема, погано опрацьовані теоретичні основи кількісного прогнозування інгібуючих (токсичних) впливів токсикантів на біосистеми. Для цих цілей використовують головним чином імітаційні моделі, засновані на параметрах, які пов'язані з фізіологією і біохімією модельованих об'єктів.

Двостадійна модель зростання клітинної популяції, яка визначається квазіхіміческіх рівняннями (4.7), дозволяє провести наочну математичну формалізацію і отримати в явному вигляді рівняння, кількісно описують токсичні впливи.

Для обліку впливу токсикантів двухстадийную модель

(4.7) слід доповнити рівняннями (4.5). При одночасному впливі двох токсикантів X] і ХГ (комбінована токсичність) двостадійна модель має наступний вигляд:

де (X |, Х 2 ) - двомірний вектор (список) токсикантів; {d, j} - матриця кінетичних коефіцієнтів токсичної дії; в (4.17) використані ті ж позначення, що і в системах (4.2Н4.6).

В системі рівнянь (4.17) передбачається, що токсиканти X] і Х 2 діють тільки на зростаючі З і материнські З п клітини, не впливаючи на кінетичні коефіцієнти а, Ь, р.

З урахуванням сталості кількостей субстратів М ь М 2 і токсикантів X], Х 2 кінетика ланцюгового зростання і пригнічення популяції, що складається з особин З і С т , описується системою з двох диференціальних рівнянь, аналогічних рівнянням

(4.8) і (4.9):

де С !, з т - чисельність зростаючих і материнських клітин; а, Ь, р - коефіцієнти, відповідні коефіцієнтам в рівняннях

(4.8), (4.9). Коефіцієнти Ь і р є функціями концентрацій jci і х 2 інгібіторів:

У формулах (4.20) d = dX + d 2 x 2 d 2 = d 2i х, + d 22 x 2 .

Очевидно, що при х = х 2 = 0 (відсутність інгібіторів) і> v, = 0 (ізольована популяція) система рівнянь (4.18) і (4.19) переходить в систему (4.8), (4.9) як до свого окремого випадку. При необхідності нескладно провести узагальнення (4.18) і (4.19) для більшого числа токсикантів.

Для ізольованої популяції (м> = 0) система рівнянь (4.18) і (4.19) має дві стаціонарні точки: (0,0) і (з ", з" т ),

Перша точка (0,0) відповідає повного вимирання популяції, другий точці відповідає гранична її чисельність:

При цьому частка материнських клітин

Відповідно до формул (4.20) - (4.23), чисельності в ізольованій популяції в цілому і клітин при різних стадіях росту - це функції концентрації токсикантів у навколишньому середовищі.

Як випливає з (4.20) - {4.22), з ростом концентрації токсикантів Xi і Х 2 збільшуються значення Ь і р, при цьому гранична чисельність клітин Сi і С 2 зменшується і досягає нуля, коли виконується рівність

Набори концентрацій ( х , х 2 ) інгібіторів, які задовольняють рівняння (4.24), є критичними і являють собою різноманіття, що відображається на площині лінією xi-x 2 , званої критичної кривої цітоцідного дії комбінації токсикантів хь Х 2 .

При наявності зовнішнього припливу (відтоку) клітин система рівнянь (4.18) і (4.19) має стаціонарну точку [ci (wi), c m (w,)]:

де А = -pw В = (aw, + р х Ь х - / bp); С = fab. Ця стаціонарна точка визначає залежність граничної чисельності ci (wi) + c m (w) від концентрації токсикантів при різних швидкостях Wj.

У багатьох випадках рівняння (4.19) описує більш швидкі зміни в порівнянні з (4.18). Тоді для клітин З т може бути застосовано квазістаціонарне наближення, при якому (4.18) і (4.19) зводяться до рівняння

Тут До - гранична чисельність клітин З ь

Аналогія рівнянь (4.26) і (4.12) очевидна, покольку з рівняння (4.26) при х = х 2 = 0 отримують (4.12).

Із зростанням концентрації токсикантів значення величини К зменшується. Згідно (4.26), при До = Со (зі - початкова чисельність клітин Cj) швидкість зростання популяції звертається в нуль. Зростання популяції відсутня, і її чисельність залишається на вихідному рівні. Набори концентрацій (* |, ХГ) токсикантів, відповідні умові К = З, є цитостатическими. На площині Х-Х 2 ці набори концентрацій відображаються лінією, яку можна назвати критичною кривої цитостатичної дії комбінації токсикантів Xi, Х2.

Приватне рішення рівняння (4.26) має вигляд

де п = аг1 / АГ2; А - коефіцієнт, що дорівнює лівій частині рівняння (4.28), при t - 0 чисельність Cj відповідає початковому значенню зі = ci (0). При х = ХГ = 0 рішення (4.28) переходить в рішення (4.16).

З рівняння (4.28) випливає, що в загальному випадку динаміку чисельності ci (?) Популяції можна представити у вигляді явної функції часу. У зв'язку з цим слід використовувати зворотну функцію / (ci), одержувану інтеграцією рівняння (4.26) за величиною С | в якості незалежної змінної або логарифмування рівняння (4.28):

Функція (4.29) описує зростання клітинних популяцій в присутності токсикантів, тому її називають екотоксікопогіческой кривої росту популяції.

На рис. 4.3 наведені розрахункові залежності, що описують зростання пивних дріжджових клітин при різних молярних концентраціях солей хрому і нікелю. В межах точності вимірювань розрахункові криві узгоджуються з експериментальними даними при зміні чисельності приблизно на шість порядків.

Важлива особливість кривих біологічного зростання - точка перегину (с /, tf), в якій швидкість росту досягає максимального значення (рівність нулю другої похідної):

Залежності росту клітинної популяції від часу

Мал. 4.3. Залежності росту клітинної популяції від часу (я, б) і часу від зростання клітинної популяції (в) для параметрів а = 1,25 * 10 " 7 мл / год, b = 0,8 ч ~ р = 0,32 ч" ' , / = 2, що описують зростання пивних дріжджових клітин при різних молярних концентраціях (моль / л) солей хрому і нікелю:

при чисельності, рівній При відсутності токсикантів

 
Переглянути оригінал
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук