Навігація
Головна
 
Головна arrow Статистика arrow Статистика
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Середня арифметична

Найбільш поширеним видом середніх величин є середня арифметична, яка, як і всі середні, в залежності від характеру наявних даних може бути простою або зваженою. Цю форму середньої використовують в тих випадках, коли розрахунок здійснюється за несгруппірованних даними.

Припустимо, що шість торгових підприємств фірми мають наступний обсяг товарообігу за місяць: Торговельне

підприємство ........... 1 2 3 4 5 6 7

Товарообіг,

Млн.руб ...................... 25 40 15 10 18 12 17

Для того щоб визначити середній місячний товарообіг у розрахунку на одне підприємство, необхідно скористатися вихідним співвідношенням:

Використовуючи наведені в попередньому параграфі умовні позначення, запишемо формулу даної середньої

(1 = йг)

З урахуванням наявних даних отримаємо середній розмір товарообігу, він складе, млн руб .:

В даному випадку використана формула середньої арифметичної простої (незваженої).

Середня арифметична зважена

При розрахунку середніх величин окремі значення осредняемого ознаки можуть повторюватися, зустрічатися по кілька разів. У подібних випадках розрахунок середньої проводиться за згрупованим даними або варіаційним рядах, які можуть бути дискретними або інтервальними.

Розглянемо наступний умовний приклад. Припустимо, що відомий курс продажу й кількість проданих акцій (табл. 5.3).

Таблиця 5.3. Угоди по акціях емітента X за торговельну сесію

Угоди за акціями емітента X за торговельну сесію

Визначимо за даним дискретному варіаційному ряду середній курс продажу однієї акції, використовуючи наступне вихідне співвідношення:

Щоб отримати загальну суму угод, необхідно по кожній угоді курс продажу помножити на кількість проданих акцій і одержані добутки скласти. Зрештою середній курс продажу складе, руб .:

Розрахунок середнього курсу продажу проведений за формулою середньої арифметичної зваженої:

В окремих випадках ваги можуть бути представлені не абсолютними величинами, а відносними - у відсотках або частках одиниці (графа 4 табл. 5.3). Так, у наведеному вище прикладі кількість проданих в ході кожної угоди акцій відповідно становить 43,9 (0,439), 19,5 (0,195) і 36,6% (0,366) їх загального числа. Тоді з урахуванням нескладного перетворення формули (5.1) отримаємо:

або, руб .:

х = 420 0,439 +530 +0,195 +480 0,366 = 463,4.

На практиці найбільш часта помилка при розрахунку середніх полягає в ігноруванні ваг в тих випадках, коли ці ваги насправді необхідні. Припустимо, є такі дані про собівартість продукції 2:

Підприємство ................................................. ............. 1 лютого

Собівартість одиниці продукції, грн ........ 37 39

Чи можна за наявними даними визначити середню собівартість цієї продукції по двох підприємствах, разом узятим? Можна, по тільки в тому випадку, коли обсяги виробництва даної продукції на двох підприємствах збігаються. Тоді середня собівартість складе 38,0 руб. (доказ цього правила буде наведено далі). Однак на першому підприємстві за аналізований період може бути вироблено, наприклад, 50 одиниць продукції, а на другому - 700. Тоді для розрахунку середньої собівартості, руб., Буде потрібно вже середня арифметична зважена:

Загальний висновок полягає в наступному: використовувати середню арифметичну незважену можна тільки тоді, коли точно встановлено відсутність ваг або їх рівність.

При розрахунку середньої по інтервального варіаційного ряду для виконання необхідних обчислень від інтервалів переходять до їх серединам.

Розглянемо наступний приклад (табл. 5.4).

Таблиця 5.4. Розподіл чисельності зайнятих в економіці за віковими групами в 2009 р

Розподіл чисельності зайнятих в економіці за віковими групами в 2009 р

Для визначення середнього віку чисельності зайнятих знайдемо середини вікових інтервалів (графа 1 табл. 5.4). При цьому величина першого відкритого інтервалу умовно прирівнюється до величини інтервалу, що примикає до нього, - другого (таке ж правило застосовується і при наявності останнього відкритого інтервалу).

Використовуючи середню арифметичну зважену, визначимо середній вік (років) зайнятих в економіці в 2009 р .:

Властивості середньої арифметичної

Середня арифметична володіє деякими математичними властивостями, більш повно розкривають її сутність і в ряді випадків використовуваними при її розрахунку. Розглянемо ці властивості.

1. Твір середньої на суму частот дорівнює сумі творів окремих варіантів на відповідні їм частоти:

Дійсно, якщо ми звернемося до наведеного вище прикладу розрахунку середнього курсу продажу акцій (див. Табл. 5.3), то отримаємо наступне рівність (за рахунок округлення середнього курсу права і ліва частини рівності в даному випадку будуть дещо відрізнятися):

  • 463,4 • 2 050 = 420 • 900 + 530 • 400 + 480 • 750.
  • 2. Сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної дорівнює нулю:

Для нашого прикладу:

(420 - 463,4) х 900 + (530 - 463,4) х 400 + (480 - 463,4) • 750 = 0.

Математичне доказ даної властивості зводиться до наступного:

3. Сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж сума квадратів їх відхилень від будь-якої іншої довільної величини С:

Отже, сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від довільної величини С більше суми квадратів їх відхилень від своєї середньої на величину

або

На використанні цієї властивості базується розрахунок центральних моментів, що представляють собою характеристики варіаційного ряду при С = х ':

де до визначає порядок моменту (центральний момент 2-го порядку являє собою дисперсію).

4. Якщо все осредняются варіанти зменшити або збільшити на постійне число А, то середня арифметична відповідно зменшиться або збільшиться на ту ж величину:

Так, якщо всі курси продажу акцій збільшити на 20 руб., То середній курс, руб., Також збільшиться на 20 руб .:

5. Якщо всі варіанти значень ознаки зменшити або збільшити в А раз, то середня також відповідно збільшиться чи зменшиться в А разів:

Припустимо, курс продажу в кожному випадку зросте в два рази. Тоді і середній курс, руб., Також збільшиться на 100%:

6. Якщо всі ваги зменшити або збільшити в Л раз, то середня арифметична від цього не зміниться:

Так, у нашому прикладі зручніше було б розраховувати середню, руб., Попередньо поділивши всі ваги на 100:

Виходячи з даного властивості, можна зробити висновок, що якщо всі ваги рівні між собою, то розрахунки по середній арифметичній зваженій і середньої арифметичної незваженої приведуть до одного й того ж результату.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук