Навігація
Головна
 
Головна arrow Філософія arrow Теорія і практика аргументації
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Пряме і непряме докази

Німецький філософ А. Шопенгауер вважав математику досить цікавою наукою, але не має ніяких додатків, у тому числі і у фізиці. Він навіть відкидав саму техніку строгих математичних доказів. Шопенгауер називав їх мишоловками і наводив як приклад доказ відомої теореми Піфагора. Воно є, звичайно, точним; ніхто не може вважати його помилковим. Але воно являє собою зовсім штучний спосіб міркування. Кожен крок його переконливий, однак до кінця докази виникає відчуття, що ви потрапили в мишоловку. Математик змушує вас допустити справедливість теореми, але ви не отримуєте жодного реального розуміння. Це все одно, як якби вас провели через лабіринт. Ви нарешті виходите з лабіринту і говорите собі: "Так, я вийшов, але не знаю, як тут опинився".

Позиція А. Шопенгауера, звичайно, курйоз, але в ній є момент, що заслуговує уваги. Потрібно вміти простежити кожен крок докази. Інакше його частини позбудуться зв'язку, і воно в будь-який момент може розсипатися, як картковий будиночок. Але не менш важливо зрозуміти доказ в цілому, як єдину конструкцію, кожна частина якої необхідна на своєму місці. Якраз такого цілісного розуміння не вистачало, по всій вірогідності, А. Шопенгауером. У підсумку, в общем-то простий доказ уявляється йому блуканням в лабіринті: кожен крок шляху ясний, але загальна лінія руху покрита мороком.

Доказ, не зрозуміле як ціле, ні в чому не переконує. Навіть якщо вивчити його напам'ять речення за реченням, до наявного знанню предмета це нічого не додасть. Стежити за доказом і лише переконуватися в правильності кожного його подальшого кроку - це, за словами французького математика А. Пуанкаре, рівносильно такого спостереження за грою в шахи, коли помічаєш тільки те, що кожен хід підпорядкований правилам гри.

Мінімальна вимога - це розуміння логічного виведення як цілеспрямованої процедури. Тільки в цьому випадку досягається інтуїтивна ясність того, що ми робимо. "Я примушений зізнатися, - зауважив якось А. Пуанкаре, - що позитивно не здатний зробити без помилки складання. Моя пам'ять не погана; але щоб стати хорошим гравцем в шахи, вона виявилася б недостатньою. Чому ж вона не зраджує мені в складних математичних міркуваннях, в яких заплуталися б більшість шахових гравців? Це відбувається, очевидно, тому, що в даному випадку пам'ять моя направляється загальним ходом міркування. Математичне доказ не їсти просте зчеплення умовиводів: це умовиводи, розташовані в певному порядку; і порядок, в якому розташовані ці елементи. Якщо у мене є почуття ... цього порядку, внаслідок чого я відразу можу обійняти всю сукупність міркувань, мені вже нічого боятися забути який-небудь елемент, кожен з них сам собою займе своє місце ".

Те, що створює, за висловом А. Пуанкаре, "єдність докази", можна представити у формі загальної схеми, що охоплює основні його кроки, що втілює в собі загальний принцип або його підсумкову структуру. Саме така схема залишається в пам'яті, коли забуваються подробиці докази.

З точки зору загального руху думки все докази поділяються на прямі і непрямі.

При прямому доведенні завдання полягає в тому, щоб підшукати такі переконливі аргументи, з яких по логічним правилам виходить тезу.

Наприклад, потрібно довести, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360 °. З яких тверджень можна було б вивести цю тезу? Зазначаємо, що діагональ ділить чотирикутник трикутника. Значить, сума його кутів дорівнює сумі кутів двох трикутників. Відомо, що сума кутів трикутника становить 180 °. З цих положень виводимо, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360 °.

У побудові прямого доказу можна виділити два пов'язаних між собою етапи: відшукання тих визнаних обгрунтованими тверджень, які здатні бути переконливими аргументами для доказуваного становища; встановлення логічного зв'язку між знайденими аргументами і тезою. Нерідко перший етап вважається підготовчим, і під доказом розуміється дедукція, що зв'язує підібрані аргументи і доводити тезу.

Ще приклад. Потрібно довести, що космічні кораблі підкоряються дії законів небесної механіки.

Відомо, що ці закони універсальні: їм підпорядковуються всі тіла в будь-яких точках космічного простору. Очевидно також, що космічний корабель є космічне тіло. Відзначивши це, будуємо відповідне дедуктивний умовивід. Воно є прямим доказом аналізованого затвердження.

Непрямий доказ встановлює справедливість тези тим, що розкриває помилковість протилежного йому допущення, антитези.

Як з іронією зауважує американський математик Д. Пойа, "непрямий доказ має деяку схожість із надувательскім прийомом політикана, підтримуючого свого кандидата тим, що опорочує репутацію кандидата іншої партії".

У непрямому доказі міркування йде як би обхідним шляхом. Замість того щоб прямо відшукувати аргументи для виведення з них доказуваного положення, формулюється антитеза, заперечення цього положення. Далі тим чи іншим способом показується неспроможність антитези. За законом виключеного третього, якщо одне з суперечать один одному тверджень помилково, друге повинно бути вірним. Антитезис помилковий, значить, теза є вірним.

Оскільки непрямий доказ використовує заперечення доказуваного положення, воно є, як кажуть, доказом від протилежного.

Припустимо, потрібно побудувати непрямий доказ такого вельми тривіального тези: "Квадрат не є окружністю". Висувається антитеза: "Квадрат є окружність". Необхідно показати хибність цього твердження. З цією метою виводимо з нього слідства. Якщо хоча б одна з них виявиться помилковим, це означатиме, що і саме твердження, з якого виведено наслідок, також помилково. Неправильним є, зокрема, такий наслідок: у квадрата немає кутів. Оскільки антитеза хибна, вихідний теза повинна бути істинним.

Інший приклад. Лікар, переконуючи пацієнта, що той не хворий на грип, міркує так. Якби дійсно був грип, малися б характерні для нього симптоми: головний біль, підвищена температура і т.п. Але нічого подібного немає. Виходить, немає й грипу.

Це знову-таки непрямий доказ. Замість прямого обгрунтування тези висувається антитеза, що у пацієнта справді грип. З антитези виводяться слідства, але вони спростовуються об'єктивними даними. Це говорить, що допущення про грип невірно. Звідси випливає, що теза "Грипу немає" правдивий.

Докази від протилежного звичайні в наших міркуваннях, особливо в суперечці. При вмілому застосуванні вони можуть володіти особливою переконливістю.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук