Пряме і непряме докази

Німецький філософ А. Шопенгауер вважав математику досить цікавою наукою, але не має ніяких додатків, у тому числі і у фізиці. Він навіть відкидав саму техніку строгих математичних доказів. Шопенгауер називав їх мишоловками і наводив як приклад доказ відомої теореми Піфагора. Воно є, звичайно, точним; ніхто не може вважати його помилковим. Але воно являє собою зовсім штучний спосіб міркування. Кожен крок його переконливий, однак до кінця докази виникає відчуття, що ви потрапили в мишоловку. Математик змушує вас допустити справедливість теореми, але ви не отримуєте жодного реального розуміння. Це все одно, як якби вас провели через лабіринт. Ви нарешті виходите з лабіринту і говорите собі: "Так, я вийшов, але не знаю, як тут опинився".

Позиція А. Шопенгауера, звичайно, курйоз, але в ній є момент, що заслуговує уваги. Потрібно вміти простежити кожен крок докази. Інакше його частини позбудуться зв'язку, і воно в будь-який момент може розсипатися, як картковий будиночок. Але не менш важливо зрозуміти доказ в цілому, як єдину конструкцію, кожна частина якої необхідна на своєму місці. Якраз такого цілісного розуміння не вистачало, по всій вірогідності, А. Шопенгауером. У підсумку, в общем-то простий доказ уявляється йому блуканням в лабіринті: кожен крок шляху ясний, але загальна лінія руху покрита мороком.

Доказ, не зрозуміле як ціле, ні в чому не переконує. Навіть якщо вивчити його напам'ять речення за реченням, до наявного знанню предмета це нічого не додасть. Стежити за доказом і лише переконуватися в правильності кожного його подальшого кроку - це, за словами французького математика А. Пуанкаре, рівносильно такого спостереження за грою в шахи, коли помічаєш тільки те, що кожен хід підпорядкований правилам гри.

Мінімальна вимога - це розуміння логічного виведення як цілеспрямованої процедури. Тільки в цьому випадку досягається інтуїтивна ясність того, що ми робимо. "Я примушений зізнатися, - зауважив якось А. Пуанкаре, - що позитивно не здатний зробити без помилки складання. Моя пам'ять не погана; але щоб стати хорошим гравцем в шахи, вона виявилася б недостатньою. Чому ж вона не зраджує мені в складних математичних міркуваннях, в яких заплуталися б більшість шахових гравців? Це відбувається, очевидно, тому, що в даному випадку пам'ять моя направляється загальним ходом міркування. Математичне доказ не їсти просте зчеплення умовиводів: це умовиводи, розташовані в певному порядку; і порядок, в якому розташовані ці елементи. Якщо у мене є почуття ... цього порядку, внаслідок чого я відразу можу обійняти всю сукупність міркувань, мені вже нічого боятися забути який-небудь елемент, кожен з них сам собою займе своє місце ".

Те, що створює, за висловом А. Пуанкаре, "єдність докази", можна представити у формі загальної схеми, що охоплює основні його кроки, що втілює в собі загальний принцип або його підсумкову структуру. Саме така схема залишається в пам'яті, коли забуваються подробиці докази.

З точки зору загального руху думки все докази поділяються на прямі і непрямі.

При прямому доведенні завдання полягає в тому, щоб підшукати такі переконливі аргументи, з яких по логічним правилам виходить тезу.

Наприклад, потрібно довести, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360 °. З яких тверджень можна було б вивести цю тезу? Зазначаємо, що діагональ ділить чотирикутник трикутника. Значить, сума його кутів дорівнює сумі кутів двох трикутників. Відомо, що сума кутів трикутника становить 180 °. З цих положень виводимо, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360 °.

У побудові прямого доказу можна виділити два пов'язаних між собою етапи: відшукання тих визнаних обгрунтованими тверджень, які здатні бути переконливими аргументами для доказуваного становища; встановлення логічного зв'язку між знайденими аргументами і тезою. Нерідко перший етап вважається підготовчим, і під доказом розуміється дедукція, що зв'язує підібрані аргументи і доводити тезу.

Ще приклад. Потрібно довести, що космічні кораблі підкоряються дії законів небесної механіки.

Відомо, що ці закони універсальні: їм підпорядковуються всі тіла в будь-яких точках космічного простору. Очевидно також, що космічний корабель є космічне тіло. Відзначивши це, будуємо відповідне дедуктивний умовивід. Воно є прямим доказом аналізованого затвердження.

Непрямий доказ встановлює справедливість тези тим, що розкриває помилковість протилежного йому допущення, антитези.

Як з іронією зауважує американський математик Д. Пойа, "непрямий доказ має деяку схожість із надувательскім прийомом політикана, підтримуючого свого кандидата тим, що опорочує репутацію кандидата іншої партії".

У непрямому доказі міркування йде як би обхідним шляхом. Замість того щоб прямо відшукувати аргументи для виведення з них доказуваного положення, формулюється антитеза, заперечення цього положення. Далі тим чи іншим способом показується неспроможність антитези. За законом виключеного третього, якщо одне з суперечать один одному тверджень помилково, друге повинно бути вірним. Антитезис помилковий, значить, теза є вірним.

Оскільки непрямий доказ використовує заперечення доказуваного положення, воно є, як кажуть, доказом від протилежного.

Припустимо, потрібно побудувати непрямий доказ такого вельми тривіального тези: "Квадрат не є окружністю". Висувається антитеза: "Квадрат є окружність". Необхідно показати хибність цього твердження. З цією метою виводимо з нього слідства. Якщо хоча б одна з них виявиться помилковим, це означатиме, що і саме твердження, з якого виведено наслідок, також помилково. Неправильним є, зокрема, такий наслідок: у квадрата немає кутів. Оскільки антитеза хибна, вихідний теза повинна бути істинним.

Інший приклад. Лікар, переконуючи пацієнта, що той не хворий на грип, міркує так. Якби дійсно був грип, малися б характерні для нього симптоми: головний біль, підвищена температура і т.п. Але нічого подібного немає. Виходить, немає й грипу.

Це знову-таки непрямий доказ. Замість прямого обгрунтування тези висувається антитеза, що у пацієнта справді грип. З антитези виводяться слідства, але вони спростовуються об'єктивними даними. Це говорить, що допущення про грип невірно. Звідси випливає, що теза "Грипу немає" правдивий.

Докази від протилежного звичайні в наших міркуваннях, особливо в суперечці. При вмілому застосуванні вони можуть володіти особливою переконливістю.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >