Диференціальні рівняння рівноваги рідини

Виділимо в рідині, що знаходиться в рівновазі, елементарний паралелепіпед з ребрами dx, dy, dz, паралельними осям координат х, у, z (рис. 3.6). Виберемо в центрі паралелепіпеда точку А. Тиск в цій точці буде р = f (х, у, z). Так як це тиск є безперервною функцією координат, то, розкладаючи функцію f (х, у, z) в ряд Тейлора в околі точки А з точністю до нескінченно малих першого порядку, отримаємо наступні співвідношення для тисків р 1 і р 2 в точках 1 і 2 на гранях паралелепіпеда, перпендикулярних осі х:

Тиску на гранях паралелепіпеда можна також записати у вигляді відношення сили до площі:

(3.9)

Запишемо умову рівноваги сил, що діють на елементарний паралелепіпед, в проекції на вісь х:

(3.10)

де F m - масова сила, що визначається за формулою

(3.11)

де dm - маса елементарного паралелепіпеда.

Схема сил, що діють на елементарний паралелепіпед

Рис. 3.6. Схема сил, що діють на елементарний паралелепіпед

Підставляючи формули (3.9), (3.11) у співвідношення (3.10), одержуємо

Підставляючи формули для р 1 і р 2, знайдемо

Звідси

Аналогічні рівняння можна отримати, якщо спроектувати діючі на паралелепіпед сили на осі у і z. У підсумку будемо мати систему трьох диференціальних рівнянь виду

(3.12)

де X, Y, Z - проекції прискорень масових сил, що припадають на одиницю маси.

Ці рівняння вперше були виведені Ейлером в 1755 р і називаються рівняннями рівноваги Ейлера. Вони показують, що при рівновазі рідини масові сили врівноважуються відповідними поверхневими силами.

У векторній формі ці рівняння мають вигляд

де; (i, j, k - орти координатних осей, що мають координати (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1) відповідно).

Потенціал масових сил

Множачи рівняння Ейлера (3.12) відповідно на dx, dy, dz і почленно складаючи, отримуємо

(3.13)

Так як р = f (x, y, z), повний диференціал цієї функції буде

Отже, права частина рівняння (3.13) є повний диференціал:

(3.14)

Рівність (3.14) має сенс лише в тому випадку, якщо ліва його частина є також повний диференціал якоїсь функції. Позначимо цю функцію через і = і (х, у, z). Тоді повний диференціал її буде

Приймемо, що

(3.15)

З зіставлення рівнянь (3.14), (3.15) отримаємо

Функцію і = і (х, у, z) називають потенційної функцією, а сили, для яких ця функція існує, - силами, що мають потенціал.

Звідси висновок: рідина може перебувати в рівновазі тільки під дією масових сил, що мають потенціал, так як тільки такі сили задовольняють рівнянням рівноваги Ейлера.

Інтеграл рівнянь Ейлера для нестисливої рідини

Проинтегрируем рівняння (3.15) при р = const:

Звідси

(3.16)

де с - постійна інтегрування. Вважаючи, що при р = р 0 потенційна функція і = u 0, матимемо

Звідси

(3.17)

Підставляючи вираз (3.17) у співвідношення (3.16), одержуємо

або

Останнє співвідношення є інтегралом рівнянь Ейлера для нестисливої крапельної рідини.

Так як величина ρ (uu 0) не залежить від тиску р 0 і визначається лише системою масових (але не поверхневих) сил, отже, на скільки зміниться тиск p 0, на стільки ж зміниться і тиск р в будь-якій точці рідини. Звідси можна сформулювати закон Паскаля: тиск у рідині, що знаходиться в рівновазі, передається всім її часткам без зміни сто величини.

Введемо поняття поверхні рівного тиску і виведемо її рівняння.

Поверхнею рівного тиску називається така виділена в рідині поверхню, гідростатичний тиск у всіх точках якої одне і те ж. Для такої поверхні, очевидно, dp = 0. Так як р = f (x, у, z), рівняння поверхні рівного тиску р = const буде

Надаючи З різні значення, будемо переходити від однієї поверхні рівного тиску до іншої. Це рівняння є рівнянням сімейства поверхонь рівного тиску. Поверхні рівного тиску і рівного потенціалу збігаються. Так як - ρdu = dp, при dp = 0 du = 0 і і = const.

Визначення поверхні рівного тиску по заданих масовим силам проводиться по рівнянню

(3.18)

Зважаючи на відсутність масових сил по осях х, у і з урахуванням того, що масова сила по осі z Z = -g, рівняння (3.18) прийме вигляд - ρgdz = 0, або dz = 0. Звідси z = const.

Отже, поверхні рівного тиску, в тому числі і вільна поверхня, - горизонтальні площини.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >