Гідростатичний напір і енергетичний закон для рідини, що знаходиться в рівновазі

При виведенні основного рівняння гідростатики вище (див. Параграф 3.6) було отримано диференціальне рівняння виду

Перш ніж інтегрувати це рівняння, представимо його в наступному вигляді:

або

Проинтегрировав, отримаємо

Величина представляє ту висоту, на яку піднялася б рідину в пьезометров, якби верхній кінець його знаходився під нульовим тиском р = 0 (рис. 3.12).

Схема до визначення гідростатичного і п'єзометричного напору

Рис. 3.12. Схема до визначення гідростатичного і п'єзометричного напору

Таким чином, це є висота, що відповідає абсолютному тиску в рідині. Вона називається наведеної (висота h 2). A z = z 2 - геометрична висота обраної точки над умовною площиною порівняння 0-0. Звідси

(3.22)

Рівняння (3.22) показує, що сума двох висот z 2 і p / γ для будь-якої точки рідини залишається постійною. Ця сума називається абсолютним (повним) гідростатичним напором.

Якщо кінець пьезометра з'єднати з атмосферою при тиску У, то рівняння (3.22) набуде вигляду

(3.23)

Сума z 1 і (р-В) / γ називається гідростатичним напором, а величина - пьезометрические напором.

Горизонтальна площина, проведена на висоті Н р, називається площиною гідростатичного, або п'єзометричного, напору, a H s - площиною абсолютного (повної) напору. Очевидно, що Н р <H s.

Виразами (3.22) і (3.23) можна надати простий енергетичний сенс. Розглянемо частинку рідини масою т. Її потенційна енергія щодо площини 0-0 буде mgz. Крім того, під дією тиску р частинка може піднятися на висоту, тобто володіє потенційною енергією тиску, рівний

Таким чином, повний запас потенційної енергії частинки буде

Розділивши останнє співвідношення на mg, отримаємо

де

Звідси випливає, що висота г є питома потенційна енергія положення частинки, а р / γ - питома потенційна енергія тиску.

Величина

є повною питомої потенційної енергією частинки.

Останнє співвідношення називається енергетичним законом для рідини, що знаходиться в рівновазі.

Для усіх точок даного обсягу спочиває рідини питома потенційна енергія однакова. Це твердження справедливо як для повного (H s), так і для п'єзометричного p) напорів.

Інтегрування рівнянь Ейлера для випадку відносного спокою рідини

Нехай рідина знаходиться в ємності, яка рухається прямолінійно і рівноприскореному але горизонтальній площині з прискоренням а (рис. 3.13).

Рідина при русі перебуває під дією масової сили тяжіння і сили інерції від горизонтального переміщення. Відповідні проекції масових сил будуть рівні X = -a; Y = 0; Z = -g.

Рівняння (3.14), враховуючи масові сили, прийме вигляд

Схема сил, що діють на рідину, при русі ємності по горизонтальній площині

Рис. 3.13. Схема сил, що діють на рідину, при русі ємності по горизонтальній площині

Змінні в рівнянні розділені. Інтегруючи його, отримуємо

(3.24)

де З - постійна інтегрування, що визначається з граничних умов, які в даному випадку мають вигляд р = p 0 при х = 0 і z = 0. Звідси

(3.25)

Підставляючи рівність (3.25) у співвідношення (3.24), знаходимо

(3.26)

Рівняння (3.26) для вільної поверхні, де р = р 0, прийме вигляд

Звідси

(3.27)

Оскільки ставлення a / g є константою, рівняння (3.27) буде рівнянням прямої лінії. Це означає, що площина, проведена через осі х і z, буде перетинати зовнішню поверхню рідини по лінії АВ.

Ставлення a / g являє тангенс кута нахилу прямої АВ до горизонтальної площини:

Звідси

Запишемо рівняння (3.26) для деякої точки М у вигляді

або

(3.28)

Відповідно до рівності (3.27) перший член в правій частині рівняння (3.28) буде, так як точка М 'знаходиться на поверхні.

Звідси, враховуючи, що, а z M = -b, отримуємо

або

(3.29)

Співвідношення (3.29) являє формулу гідростатичного тиску (3.21). Таким чином, тиск у будь-якій точці рідини, що рухається разом з ємністю прямолінійно і рівноприскореному, визначається за формулою гідростатичного тиску, де h - глибина занурення точки під поверхнею рідини. Наприклад, тиск в точці D буде

Розглянемо рідину, що знаходиться в циліндричній ємності, яка обертається навколо вертикальної осі з постійною кутовою швидкістю ω (рис. 3.14).

Відцентрова сила на одиницю маси

де V - окружна швидкість; r - відстань від осі циліндра до точки А.

Проекції масових сил на відповідні осі координат будуть

Схема сил, що діють на рідину, при обертанні ємності навколо вертикальної осі

Рис. 3.14. Схема сил, що діють на рідину, при обертанні ємності навколо вертикальної осі

Підставляючи їх значення в співвідношення, отримуємо

Інтегруючи, знаходимо

де С - постійна інтегрування. Так як при х = 0, у = 0, z = 0 р = p 0, то С = р 0. Враховуючи, що х 2 + у 2 = г 2, знаходимо

(3.30)

За формулою (3.30) можна знайти тиск в будь-якій точці М рідини по глибині ємності. Для знаходження поверхонь рівного тиску покладемо dp = 0, тоді матимемо

Інтегруючи, отримуємо

Звідси

Отже, поверхні рівного тиску являють собою параболоїди обертання.

При r = 0, z = 0 отримуємо З = 0 для рівняння вільної поверхні. Тоді рівняння вільної поверхні буде

Знайдемо тиск в деякій точці М, розташованої на глибині h від поверхні. Позначивши аплікат вільної поверхні через z 0 (точка М '), отримаємо

Підставляючи цей вираз у формулу (3.30), знаходимо

або

де h = z 0 + b. Таким чином, знову отримали формулу гідростатичного тиску (3.21).

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >