ГІДРОДИНАМІКА

Після вивчення глави 4 бакалавр повинен:

знати

  • • відмінність понять "гідростатика" і "гідродинаміка";
  • • методи дослідження рухомої рідини Ейлера і Лагранжа;
  • • принципова відмінність рівнянь Ейлера для гідродинаміки і Нав'є - Стокса;
  • • фізичний, геометричний і енергетичний сенс рівняння Бернуллі;
  • • виведення рівняння нерозривності;

вміти

  • • провести відмінність між траєкторіями часток і лініями струму;
  • • розрізняти лінії рівного потенціалу швидкості і лінії струму;
  • • визначати об'ємний та ваговий витрати рідини;
  • • використовувати рівняння Бернуллі для практичного визначення швидкостей і тисків;

володіти

  • • математичним апаратом виведення диференціальних рівнянь Ейлера, Нав'є - Стокса і Бернуллі;
  • • навичками знаходження швидкостей і тисків за допомогою трубки Піто і пьезометра.

Розділ гідравліки, в якому вивчаються закони руху рідини, називається гідродинамікою. При вивченні руху рідин розглядаються два основні завдання:

  • 1) задані гідродинамічні характеристики потоку (швидкість і тиск); потрібно визначити сили, що діють на рідину;
  • 2) задані сили, що діють на рідину; потрібно визначити гідродинамічні характеристики потоку.

Стосовно до ідеальної рідини гідродинамічний тиск має той же зміст, що й гідростатичний тиск. При аналізі руху в'язкої рідини виявляється, що

де р х, p у, p z - дійсні нормальні напруги

в розглянутій точці, що відносяться до трьох довільно наміченим в цій точці взаємно ортогональними майданчикам. Гідродинамічним тиском в точці вважають величину

При цьому вважається, що величина р не залежить від орієнтації взаємно ортогональних майданчиків.

Надалі буде розглядатися задача визначення швидкості і тиску при відомих силах, діючих на рідину. Слід зазначити, що швидкість і тиск для різних точок рідини будуть мати різні величини і, крім того, для даної точки простору вони можуть змінюватися у часі.

Для визначення складових швидкості по координатним осям і х, і у, u z і тиску р в гідравліці розглядаються наступні рівняння:

  • 1) рівняння несжимаемости і нерозривності рухомої рідини (рівняння балансу витрат рідини);
  • 2) диференціальні рівняння руху (рівняння Ейлера);
  • 3) рівняння балансу питомої енергії потоку (рівняння Бернуллі).

Далі в розділі приведені всі ці рівняння, складові теоретичну базу гідродинаміки, з попередніми поясненнями деяких вихідних положень з області кінематики рідини.

Основні кінематичні поняття і визначення. Два методу дослідження руху рідини

При вивченні руху рідини можна користуватися двома методами дослідження. Перший, розвинений Ж. Л. Лагранжа і названий субстанціональним, полягає в тому, що рух всієї рідини вивчається шляхом дослідження руху її окремих індивідуальних частинок.

Другий, розвинений Л. Ейлером і названий локальним, полягає в тому, що рух всієї рідини вивчається шляхом дослідження руху в окремих нерухомих точках, через які протікає рідина.

У гідродинаміці застосовуються обидва методи. Однак більш поширений метод Ейлера завдяки його простоті.

За методом Лагранжа в початковий момент часу t 0 відзначають в рідині певні частинки і далі стежать в часі за рухом кожної зазначеної частки і за її кінематичними характеристиками. Положення кожної частки рідини в момент часу t 0 визначається трьома координатами в нерухомій системі координат, тобто трьома рівняннями

(4.1)

де x, y, z - координати частинки; t - час.

Для складання рівнянь, що характеризують рух різних частинок потоку, необхідно враховувати положення частинок в початковий момент часу, тобто початкові координати частинок.

Наприклад, точка М (рис. 4.1) в момент часу t = 0 має координати a, b, с. Співвідношення (4.1) з урахуванням цього приймуть вигляд

(4.2)

Схема координат точки М

Рис. 4.1. Схема координат точки М

У співвідношеннях (4.2) початкові координати а, b, з можуть розглядатися як незалежні змінні (параметри). Отже, поточні координати х, y, z деякої рухомої частки є функціями змінних а, b, з, t, які називаються змінними Лагранжа.

При відомих співвідношеннях (4.2) рух рідини цілком визначено. Дійсно, проекції швидкості на координатні осі визначаються співвідношеннями (як перші похідні від координат за часом)

(4.3)

Проекції прискорень знаходяться як другі похідні від координат (перші похідні від швидкості) за часом (див. Далі співвідношення (4.5)).

Траєкторія будь-якої частинки визначається безпосередньо з рівнянь (4.1) шляхом знаходження координат х, y, z обраної частки рідини для ряду моментів часу.

За методом Ейлера вивчення руху рідини складається:

  • а) у дослідженні змін у часі векторних і скалярних величин в деякій фіксованій точці простору;
  • б) дослідженні змін цих величин при переході від однієї точки простору до іншої.

Таким чином, у методі Ейлера предметом вивчення є поля тих чи інших векторних або скалярних величин. Полем якої-небудь величини, як відомо, називається частина простору, в кожній точці якого є певне значення цієї величини.

Математично поле, наприклад швидкісне, описується наступними рівняннями:

(4.4)

тобто швидкість

є функцією координат і часу.

Змінні х, у, z, t називаються змінними Ейлера.

Таким чином, у методі Ейлера рух рідини характеризується побудовою поля швидкостей, тобто картини руху в різних точках простору в кожен даний момент часу. При цьому швидкості у всіх точках визначаються у вигляді функцій (4.4).

Методи Ейлера і Лагранжа математично пов'язані між собою. Наприклад, у методі Ейлера, частково використовуючи метод Лагранжа, можна стежити за рухом частинки не протягом часу t (як це випливає по Лагранжу), а в продовження елементарного відрізка часу dt, протягом якого дана частка рідини проходить через розглянуту точку простору. При цьому для визначення проекцій швидкості на координатні осі можна буде користуватися співвідношеннями (4.3).

Зі співвідношень (4.2) випливає, що координати х, у, z є функціями часу. Тоді будуть складними функціями часу. За правилом диференціювання складних функцій матимемо

де Wx, Wy, Wz - проекції прискорення рухомої частки на відповідні координатні осі.

Так як для рухомої частинки

то

Приватні похідні називаються проекціями локального (місцевого) прискорення.

Суми вигляду називаються проекціями конвективного прискорення.

Повні похідні називають ще субстанціональними або індивідуальними похідними.

Локальне прискорення визначає зміну в часі швидкості в даній точці простору. Конвективне прискорення визначає зміну швидкості за координатами, тобто при переході з однієї точки простору в іншу.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >