Траєкторії часток і лінії струму. Усталений рух

Траєкторією рухається частки рідини називається шлях однієї і тієї ж частинки, простеженої в часі. Вивчення траєкторій частинок лежить в основі методу Лагранжа. При дослідженні руху рідини за методом Ейлера загальне уявлення про рух рідини можна скласти за допомогою побудови ліній струму (рис. 4.2, 4.3). Лінією струму називається така лінія, в кожній точці якої в даний момент часу t вектори швидкості є дотичними до цієї лінії.

Схема усталеного витікання рідини з ємності

Рис. 4.2. Схема усталеного витікання рідини з ємності

Схема несталого витікання рідини з ємності

Рис. 4.3. Схема несталого витікання рідини з ємності

При усталеному русі, коли рівень рідини в ємності не змінюється (див. Рис. 4.2), траєкторії частинок і лінії струму збігаються. У разі несталого руху (див. Рис. 4.3) траєкторії частинок і лінії струму не збігаються.

Слід підкреслити різницю між траєкторією частинки і лінією струму. Траєкторія відноситься лише до однієї певній частці, досліджуваної протягом певного відрізка часу. Лінія струму відноситься до певної сукупності різних частинок, що розглядаються в одну мить (в даний момент часу).

Поняття усталеного руху вводиться тільки при дослідженні руху рідини в змінних Ейлера.

Сталим називається рух рідини, при якому всі елементи, що характеризують рух, в будь-якій точці простору не змінюються в часі (див. Рис. 4.2). Наприклад, для складових швидкості матимемо

Звідси

Тоді

Так як величина і напрямок швидкості руху в будь-якій точці простору при усталеному русі не змінюються, то і лінії струму не будуть змінюватися в часі. Звідси випливає, що при сталому русі траєкторії частинок і лінії струму збігаються.

Рух, при якому елементи, що характеризують рух рідини, в будь-якій точці простору змінюються в часі, називається несталим (H = var, див. Рис. 4.3).

Струйова модель руху рідини. Трубка струму. Витрата рідини

Розглянемо лінію струму 1-2 (рис. 4.4). Проведемо в точці 1 площину, перпендикулярну вектору швидкості u 1. Візьмемо в цій площині елементарний замкнутий контур l, що охоплює майданчик dω. Через всі крапки цього контуру проведемо лінії струму. Сукупність ліній струму, проведених через який-небудь контур в рідині, утворюють поверхню, звану трубкою струму.

Сукупність ліній струму, проведених через всі точки елементарної площадки dω, становить елементарну цівку. В гідравліці застосовується так звана струйова модель руху рідини. Потік рідини розглядається як складається з окремих елементарних цівок.

Схема до пояснення ліній струму і трубки струму

Рис. 4.4. Схема до пояснення ліній струму і трубки струму

Схема до висновку формули витрати рідини

Рис. 4.5. Схема до висновку формули витрати рідини

Розглянемо потік рідини, зображений на рис. 4.5. Об'ємним витратою через яку-небудь поверхню називають об'єм рідини, що протікає в одиницю часу через дану поверхню.

Очевидно, елементарний витрата буде

де v п - проекція і на п - напрямок нормалі до поверхні.

Повна витрата

Якщо провести через будь-яку точку потоку ортогональну лініях струму поверхню А, то cos (v, n) = l. Поверхня, що є геометричним місцем частинок рідини, швидкості яких перпендикулярні відповідним елементам цієї поверхні, називають живим перетином потоку і позначають зі. Тоді для елементарної цівки матимемо

і для потоку

Цей вираз називають об'ємною витратою рідини через живий перетин потоку.

Живе перетин потоку при напірному русі показано на рис. 4.6, при безнапірному - на рис. 4.7, 4.8, де напірне - це рух під дією перепаду тиску, а безнапірні - під дією сил тяжіння.

Схема напірного руху рідини

Рис. 4.6. Схема напірного руху рідини

Схема безнапірного руху рідини

Рис. 4.7. Схема безнапірного руху рідини

Схема руху рідини у відкритому руслі

Рис. 4.8. Схема руху рідини у відкритому руслі

Поверхня, дотична з рідиною, називається змоченим периметром ложа і позначається буквою χ.

Відношення площі живого перерізу потоку до змоченій периметру ложа називають гідравлічним радіусом (R):

Для круглої труби

Якщо витрата рідини Q поділити на живий перетин потоку, то отримаємо середню швидкість руху рідини

Так як

Середня швидкість в перерізі потоку - це така однакова для всіх точок перетину швидкість, при якій відбувається той же витрата, який фактично має місце при дійсних швидкостях, різних для різних точок перетину. Наприклад, в круглій трубі розподіл швидкостей при ламінарному плині рідини представлено на рис. 4.9. Тут v (r) - дійсний профіль швидкості при ламінарному плині.

Профіль швидкості при ламінарному русі рідини

Рис. 4.9. Профіль швидкості при ламінарному русі рідини

Середня швидкість дорівнює половині максимальної швидкості (див. Параграф 6.4):

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >