Диференціальні рівняння ліній струму

Нехай в деякій точці М в даний момент часу вектор швидкості про має проекції на осі координат υх, υу, υz. Тоді косинуси кутів, який складають вектором швидкості про з осями координат, будуть

Припустимо, що через точку М в даний момент часу проходить лінія струму 1 - 1 (рис. 4.10).

Схема сил до висновку диференціальних рівнянь ліній струму

Рис. 4.10. Схема сил до висновку диференціальних рівнянь ліній струму

Косинуси кутів, який складають дотичній до лінії струму з осями координат, будуть

де dS - елемент лінії струму, що проходить через точку М; dx, dy, dz - проекції елемента дуги на осі координат. Внаслідок збігу дотичній з напрямком вектора швидкості відповідні косинуси повинні бути рівні, тому

З останніх співвідношень випливає, що

Звідси отримуємо наступні диференціальні рівняння ліній струму:

Так як, то диференціальні рівняння ліній струму приймуть вигляд

де час t розглядається як параметр. Переймаючись значеннями t для кожного моменту часу можна визначити лінії струму.

Плоске рух. Функція струму

Плоским рухом називається рух рідини паралельно деякій нерухомою площині, при якому всі характеристики потоку залежать тільки від двох координат і часу.

Для отримання рівнянь плоского руху досить у загальних рівняннях гідродинаміки (якщо, наприклад, рух відбувається в площині хОу) покласти z = 0 і υz = 0.

Наприклад, рівняння нерозривності для нестисливої рідини в цьому випадку прийме вигляд

(4.6)

Перепишемо співвідношення (4.6) у вигляді

Розглянемо диференціальне рівняння ліній струму для плоского руху

Останнє рівняння можна переписати у вигляді

(4.7)

Ліва частина отриманого співвідношення є повний диференціал деякої функції Ψ (x, у), тобто

(4.8)

Зіставляючи співвідношення (4.7) і (4.8), отримуємо

(4.9)

Диференціюючи першу співвідношення з (4.9) по x, а друге - по у, знаходимо

Використовуючи рівняння нерозривності (4.6), можна записати

Звідси випливає, що функція існує і її диференціал є повним диференціалом. Крім того, з диференціального рівняння ліній струму (4.7) маємо

Інтегруючи останнє співвідношення, знаходимо

(4.10)

Звідси можна зробити висновок, що у всіх точках даної лінії струму функція струму ψ зберігає постійне значення.

Рівняння (4.10) є рівнянням лінії струму в кінцевому, а не диференціальному вигляді. Кожній лінії струму відповідає своя постійна С. Наприклад, при обтіканні тіла рідиною лінії струму будуть мати вигляд, показаний на рис. 4.11.

Схема розподілу ліній струму при обтіканні тіла рідиною

Рис. 4.11. Схема розподілу ліній струму при обтіканні тіла рідиною

Покажемо, що різниця функцій струму на двох лініях струму дорівнює витраті рідини між цими лініями, розрахованому на одиницю ширини потоку. Ширина потоку береться в напрямку, перпендикулярному площині руху (рис. 4.12).

Позначимо елементарний витрата рідини через одиницю ширини потоку між двома нескінченно близькими лініями струму як dq. Ця витрата можна визначити наступним чином:

Інтегруючи останнє співвідношення, знаходимо

Схема до пояснення витрати рідини між двома лініями струму

Рис. 4.12. Схема до пояснення витрати рідини між двома лініями струму

Таким чином, фізичний зміст функцій струму в тому, що їх різниця на одиниці ширини потоку дорівнює витраті рідини між двома відповідними лініями струму.

Зауважимо, що для тривимірного потоку в загальному випадку функція струму не існує.

Вихровий і безвіхревое потенційне протягом рідини

З теоретичної механіки відомо, що в загальному випадку руху твердого тіла швидкість будь-якої його точки можна розкласти на дві складові: швидкість поступального руху полюса і швидкість обертального руху навколо цього полюса, тобто

На відміну від цього швидкість руху рідкого елемента, як показується в теоретичній гідромеханіці, можна розкласти на три складові:

де - швидкість поступального руху; - швидкість обертального руху; - швидкість деформації.

Це твердження лежить в основі теореми Коші - Гельмгольца. Таке розкладання швидкості природно, так як на відміну від твердого тіла рідкий елемент крім поступального і обертального руху буде, очевидно, ще зазнавати деформацію.

Зупинимося докладніше лише на обертальної складової швидкості.

Розглянемо для простоти плоский рух рідини, що відбувається в площині хОу. Виділимо в рідині елементарний трикутник АВС з вершиною на початку координат і сторонами АВ = dy і АС = dx (рис. 4.13).

Схема до пояснення теореми Коші - Гельмгольца

Рис. 4.13. Схема до пояснення теореми Коші - Гельмгольца

Нехай проекції швидкості точки А є і. Тоді проекція швидкості в точці В на вісь х буде записуватися у вигляді

Проекція швидкості в точці С на вісь у буде

Рідина в точці В буде обертатися щодо точки А зі швидкістю, а в точці С - зі швидкістю.

У момент часу t + dt трикутник переміститься на певну відстань і отримає деформацію так, що його бісектриса AD (рис. 4.14) повернеться на деякий кут і займе положення (рис. 4.15). Сумісний тепер точки А і A 'на початку координатних осей х і у, зберігши напрямок бісектриси (рис. 4.16).

Визначимо кутові швидкості обертання сторін АВ і АС, позначивши їх через ω1 і ω2:

Схема до пояснення вихрового руху рідини

Рис. 4.14. Схема до пояснення вихрового руху рідини

Допоміжна схема до пояснення вихрового руху рідини

Рис. 4.15. Допоміжна схема до пояснення вихрового руху рідини

Схема до пояснення ротора вектора швидкості

Рис. 4.16. Схема до пояснення ротора вектора швидкості

Покажемо, що

Так як, то

Звідси кутова швидкість обертання бісектриси рідкого елементу навколо осі z буде

або

У більш загальному випадку тривимірного руху, розмірковуючи аналогічно, отримаємо

Отже, компоненти кутової швидкості обертання рідкого елемента в даній точці рідини рівні Полуразность приватних похідних від проекцій швидкостей за координатами х, у, z.

Вектор, компоненти якого рівні

називається ротором вектора швидкості і позначається

Ротор характеризує обертальний рух рідини в околиці даної точки. Отже, ротор (або вихор) є вектор, рівний подвоєному вектору кутової швидкості обертання рідини в даній точці:

Рух рідини з обертанням її частинок навколо своїх центрів називається вихровим рухом. Рух в трубопроводах також є вихровим. Прикладами вихрових рухів є циклони, смерчі та ін.

Освіта вихорів обумовлено в'язкістю рідини. Рух рідини без обертання її частинок називається безвихровим або потенційним. Якщо рух безвіхревое, то і, тобто вихор швидкості дорівнює нулю. При цьому, очевидно, компоненти вихору дорівнюють нулю, тобто маємо

З останніх співвідношень випливає, що вираз

є повний диференціал деякої функції координат З зіставлення в останньому співвідношенні отримаємо

(4.11)

Звідси випливає, що існує така функція координат φ = φ (х, у, z), приватні похідні від якої за відповідними координатами рівні компонентам швидкості.

За аналогією з потенціалом вектора сили функцію φ називають потенціалом швидкості, а безвіхревое рух називають також потенційним.

Рівняння нерозривності для нестисливої рідини має вигляд

Підставляючи сюди компоненти швидкості, виражені через функцію ф, отримуємо

(4.12)

Останнє рівняння називається рівнянням Лапласа. Таким чином, у разі безвихрового руху завдання знаходження трьох функцій

зводиться до задачі визначення лише однієї скалярної функції - потенціалу швидкості Компоненти швидкості виходять простим диференціюванням цієї функції по координатах.

Поверхні рівного потенціалу швидкості можна отримати, якщо знайдену функцію φ покласти рівною деякої постійної С:

Якщо рух плоске, то

(4.13)

і є лініями на площині.

При плоскому русі, як уже зазначалося вище (див. Параграф 4.5), лінії струму визначаються рівнянням

У теоретичній гідродинаміці показується, що лінії і ортогональні (взаємно перпендикулярні) (рис. 4.17).

Таким чином, для плоского і потенційного потоку картина руху може бути графічно представлена у вигляді ортогональної сітки, складеної з взаємно ортогональних ліній струму і ліній рівного потенціалу швидкості.

У разі безвихрового потенційного руху функція потенціалу швидкості ср, як було показано вище, задовольняє рівнянню Лапласа (4.12) або для плоского руху (4.13). Компоненти швидкості знаходяться із співвідношень (4.11).

Легко показати, що у разі плоского безвихрового потенційного руху функція струму також задовольняють рівнянню Лапласа, а компоненти швидкості знаходяться із співвідношень

Схема розташування ліній рівного потенціалу швидкостей і ліній

Рис. 4.17. Схема розташування ліній рівного потенціалу швидкостей і ліній

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >