Рівняння нерозривності в змінних Ейлера в декартовій системі координат

Рівняння нерозривності (суцільності) виражає закон збереження маси. Для виведення рівняння виділимо в масі рідини елементарний паралелепіпед з ребрами dx, dy, dz (рис. 4.18).

Елементарний паралелепіпед

Рис. 4.18. Елементарний паралелепіпед

Нехай точка т з координатами х, у, z знаходиться в центрі цього паралелепіпеда. Щільність рідини в точці т буде

Знайдемо масу рідини, що впадає до паралелепіпед і що з нього через протилежні грані за час dt. Маса рідини, що вливається через ліву грань за час dt в напрямку осі х, дорівнює

де і - щільність і проекція швидкості на вісь х в точці 1.

Функція є безперервною функцією координати х. Розкладаючи цю функцію в околі точки т в ряд Тейлора з точністю до нескінченно малих першого порядку, для точок 1 і 2 на гранях паралелепіпеда отримаємо наступні її значення:

рідини, яка витікає через праву грань за час dt в напрямку осі х, буде дорівнює

Маса рідини, яка витікає через праву грань за час dt в напрямку осі х, буде дорівнює

Різниця між масою втікає і витікає рідини в напрямку осі х за час dt буде дорівнює

Аналогічно для осей у і z отримаємо

Якщо рідина повністю займає розглянутий обсяг, то згідно закону збереження маси сума знайдених різниць мас повинна бути дорівнює приросту маси рідини в тому ж обсязі, викликаному зміною щільності р за час dt, тобто

Відомо що

Підставляючи значення в рівняння закону збереження мас, отримуємо

(4.14)

Так як

то, підставляючи останні співвідношення в рівняння (4.14), матимемо

(4.15)

Співвідношення (4.15) є рівнянням нерозривності стисливої рідини. Вираз в дужках у співвідношенні (4.15) називається дивергенцией вектора швидкості. Тому співвідношення можна записати як

Для усталеного руху приватна похідна від щільності по часу дорівнює нулю, і рівняння (4.14) приймає вигляд

При усталеному русі нестисливої рідини (ρ = const) рівняння нерозривності буде

або

Рівняння нерозривності для елементарної цівки має вигляд

тобто масові витрати у всіх перетинах елементарної цівки однакові.

Для потоку

Якщо рідина нестислива, то

Звідси випливає, що

Так як, то

Звідси

тобто середні швидкості потоку обернено пропорційні площам живих перетинів потоку (рис. 4.19). Об'ємна витрата Q нестисливої рідини залишається постійним уздовж каналу.

Схема до висновку рівняння нерозривності

Рис. 4.19. Схема до висновку рівняння нерозривності

Диференціальні рівняння руху ідеальної (нев'язкої) рідини (рівняння Ейлера)

Нев'язкої або ідеальної рідиною називають рідину, частинки якої мають абсолютної рухливістю. Така рідина нездатна чинити опір сдвигающим зусиллям і тому дотичні напруження в ній будуть відсутні. З поверхневих сил в ній будуть діяти тільки нормальні зусилля.

Границя відношення

в рухомої рідини називається гідродинамічним тиском.

Сила гідродинамічного тиску спрямована по внутрішній нормалі до майданчику (стискаючий зусилля), на яку вона діє.

Величина гідродинамічного тиску не залежить від орієнтування майданчика (що доводиться аналогічно доказу для гідростатичного тиску).

Для виведення рівнянь руху рідини виділимо елементарний паралелепіпед в масі рідини з ребрами dx, dy, dz (рис. 4.20). Нехай точка т з координатами х, у, z знаходиться в центрі цього паралелепіпеда. Тиск в точці т буде р = f (x, у, z, t). Компоненти масових сил, віднесених до одиниці маси, нехай будуть X, Y, Z.

Схема сил, що діють на елементарний паралелепіпед

Рис. 4.20. Схема сил, що діють на елементарний паралелепіпед

Запишемо умову рівноваги сил, що діють на елементарний паралелепіпед, в проекції на вісь х:

(4.16)

де і - сили гідростатичного тиску; - рівнодіюча масових сил тяжкості; - рівнодіюча сил інерції.

Сили гідростатичного тиску дорівнюють добутку гідростатичних тисків у центрах тяжкості елементарних майданчиків (в точках 1 і 2) на їх площі:

Тиску і визначаються за формулами (див. Параграф 3.3)

Ці формули показують, на скільки тиск р в точці т відрізняється від тисків в точках 1 і 2.

Формула для визначення рівнодійної масових сил має вигляд

де - маса елементарного паралелепіпеда.

Рівнодіюча сил інерції визначається у вигляді твору маси елементарного паралелепіпеда на його прискорення:

Знак "мінус" вказує на те, що сила інерції направлена протилежно напрямку осі х.

Підставляючи вирази для F 1, F 2, F м, F і в формулу (4.16), одержуємо

Звідси

Якщо розглядати умова рівноваги сил, що діють на елементарний паралелепіпед в проекціях на осі у і z, то отримаємо ще два рівняння:

Записуючи останні три рівняння в розгорнутому вигляді, отримуємо рівняння руху Ейлера для ідеальної нев'язкої рідини, виведені ним в 1775 р .:

У разі нестисливої нев'язкої рідини () система рівнянь Ейлера має чотири невідомих: υx, υy, υz, р. Так як рівнянь 3, а невідомих 4, то система в даному випадку виявляється незамкненою. Для того щоб вона була замкнутою, необхідно додати ще одне рівняння. Таким рівнянням буде рівняння нерозривності

Для отримання конкретних однозначних рішень замкнутої системи диференціальних рівнянь необхідно задати умови однозначності, які включають наступні умови:

  • 1) геометричні (лінійні розміри розглянутої області);
  • 2) фізичні (фізичні константи, що характеризують рідина);
  • 3) початкові (значення шуканих функцій в початковий момент часу);
  • 4) граничні (значення шуканих функцій на кордоні області).

Система диференціальних рівнянь з умовами однозначності представляють повну математичну постановку задачі.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >