Рівняння Бернуллі для елементарної цівки ідеальної рідини

У технічній гідромеханіці рівняння Бернуллі встановлює залежність між швидкістю і тиском в різних перетинах однієї і тієї ж елементарної цівки.

При виведенні цього рівняння приймаються такі припущення:

  • 1) рух рідини усталене;
  • 2) масові сили мають потенціал, тобто;;;
  • 3) рідина баротропного, тобто щільність є функцією лише одного тиску:

Запишемо систему диференціальних рівнянь Ейлера для рухомої рідини:

Помножимо обидві частини кожного з рівнянь на dx, dy, dz відповідно і складемо отримані співвідношення:

(4.18)

Вважаючи dx, dy, dz не всіма довільними приростами координат, а приростами, взятими з якої-небудь лінії струму, а також враховуючи, що при усталеному русі лінії струму і траєкторії часток збігаються, отримуємо

Перетворимо ліву частину рівняння (4.18):

У правій частині рівняння матимемо

Так як, то

Звідси рівняння (4.18) набуде вигляду

або

Інтегруючи останнє співвідношення по лінії струму, отримуємо

(4.19)

де - функція Громеко; С - константа інтегрування.

Співвідношення (4.19) називається інтегралом Бернуллі або рівнянням Бернуллі в загальному вигляді. Воно показує, що при сталому русі баротропной ідеальної рідини в полі потенційних сил сума трьох членів і, Р і однакова у всіх точках на даній лінії струму. Очевидно, що воно буде вірно також і для елементарної цівки струму, виділеної навколо даної лінії струму.

В окремому випадку важкої нестисливої нев'язкої рідини будемо мати потенціал масової сили тяжіння у вигляді

(4.20)

Для нестисливої рідини ρ = const, і функція Громеко приводиться до вигляду

(4.21)

Підставляючи вирази (4.20), (4.21) у формулу (4.19), одержуємо

З урахуванням співвідношення для щільності рідини γ = ρg знайдемо

Звідси для двох різних точок лінії струму або для двох різних перетинів елементарної цівки можна написати

Таким чином, для всіх частинок, розташованих на одній і тій же лінії струму, сума трьох величин z, і зберігає постійне значення.

Фізичний та геометричний зміст рівняння Бернуллі. Напір рідини

До рівняння Бернуллі можна дати два різних тлумачення: фізичне і геометричне.

З фізичної точки зору рівняння Бернуллі є вираз закону збереження енергії для рухомої рідини.

Дійсно, розглянемо величину

Ця сума трьох доданків називається повним напором рідини або гідродинамічним напором.

З фізичної точки зору натиск є механічна енергія рідини, віднесена до одиниці ваги рідини. Для того щоб це показати, розглянемо рідина, що рухається по трубопроводу (рис. 4.24). Виділимо в рухомої рідини частинку М з масою m, її вага Р = mg. Потенційна енергія цієї частинки в полі сили тяжіння по відношенню до площини порівняння 0-0 буде mgz, а потенційна енергія, віднесена до одиниці ваги, буде

тобто z є питома потенційна енергія положення частинки рідини - енергія, віднесена до одиниці ваги.

Під дією тиску р частинка рідини М може піднятися на висоту і, отже, зробити роботу (рис. 4.25)

тобто вона володіє потенційною енергією тиску в розмірі

Схема до пояснення фізичного сенсу рівняння Бернуллі

Рис. 4.24. Схема до пояснення фізичного сенсу рівняння Бернуллі

Схема до пояснення енергетичного сенсу рівняння Бернуллі

Рис. 4.25. Схема до пояснення енергетичного сенсу рівняння Бернуллі

Потенційна енергія тиску, віднесена до одиниці ваги, буде

тобто є питома потенційна енергія тиску частинки рідини - енергія, віднесена до одиниці ваги рідини.

Крім того, виділена частка має швидкістю і, отже, має кінетичну енергію, рівну.

Кінетична енергія, віднесена до одиниці ваги, буде

Напір рідини

буде, отже, дорівнює повній енергії частки рідини, віднесеної до одиниці ваги.

Таким чином, фізичне тлумачення рівняння Бернуллі для елементарної цівки ідеальної рідини полягає в тому, що для будь-яких перерізів 1 і 2 повна питома енергія залишається незмінною:, або

До рівняння Бернуллі можна дати наочне геометричне тлумачення. Для цього знову розглянемо окремі члени суми

Маємо: г - геометрична висота даної частинки рідини над умовною площиною порівняння; - пьезометрические висота - висота, на яку підніметься рідина в пьезометров; - швидкісна висота - висота, на яку підніметься рідина, маючи початкову швидкість υ.

Таким чином, з геометричної точки зору рівняння Бернуллі в будь-якому перетині елементарної цівки ідеальної рідини являє собою суму трьох висот: геометричній, п'єзометричної і швидкісний, яка залишається незмінною.

Графік рівняння Бернуллі для елементарної цівки ідеальної рідини представлений на рис. 4.26.

Графік рівняння Бернуллі

Рис. 4.26. Графік рівняння Бернуллі

Якщо перетин цівки збільшується, то швидкість падає, а тиск зростає, тобто енергія, зберігаючись в цілому, переходить з одного виду в інший (кінетична енергія переходить в потенційну і навпаки).

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >