Рівняння Бернуллі для елементарної цівки реальної рідини

У ідеальної рідини, на відміну від реальної, відсутні сили внутрішнього тертя (відсутній в'язкість). Завдяки в'язкості в реальної рідини відбуваються втрати механічної енергії потоку на тертя всередині рідини і об стінки каналу. При цьому відбувається розсіювання (диссипация) енергії. Енергія, загублена на тертя, перетворюється в теплоту і йде на поповнення запасу внутрішньої енергії рідини, а частина її відводиться у вигляді тепла через стінки каналу.

Внутрішня енергія рідини не може бути безпосередньо використана для приведення рідини в рух і тому в гідравліці розглядається як втрата механічної енергії (втрата напору).

Для реальної рідини рівність порушується, і замість нього маємо, де - втрата напору на ділянці 1-2. Тоді для елементарної цівки реальної рідини рівняння Бернуллі прийме вигляд

Таким чином, повний напір уздовж цівки реальної рідини зменшується. Для характеристики відносної зміни повного напору на одиницю довжини вводиться поняття про гідравлічному ухилі

Наприклад, на ділянці трубопроводу 1-2 (див. Рис. 4.26)

де l 1-2 - довжина ділянки 1-2.

Таким чином, гідравлічним ухилом називається відношення втрати напору до довжини, на якій вона відбувається.

Крім того, вводиться ще поняття про пьезометрические ухилі

П'єзометричний ухил може бути позитивним, рівним нулю і негативним.

Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини

Застосування рівняння Бернуллі, виведеного для окремої цівки, для потоку рідини утруднюється нерівномірністю розподілу швидкостей по живому перерізу потоку, наявністю поперечних складових поздовжньої швидкості і впливом відцентрових сил. У зв'язку з цим необхідно встановити характеристику потоків, для яких можна застосовувати рівняння Бернуллі, а також запропонувати спосіб обліку нерівномірності швидкостей в живих перетинах потоку.

Для вирішення цих питань в гідравліці виділяється так зване плавно змінюється рух (мал. 4.27, 4.28), яке характеризується наступними особливостями.

Схема плавно змінюється руху

Рис. 4.27. Схема плавно змінюється руху

Схема криволінійного плавно змінюється руху

Рис. 4.28. Схема криволінійного плавно змінюється руху

  • 1. Кут розбіжності сусідніх цівок, а отже, і поперечні складові швидкостей в живих перетинах потоку настільки малі, що ними можна знехтувати і розглядати протягом як відбувається тільки з поздовжньою швидкістю.
  • 2. Кривизна ліній струму настільки мала, а радіуси заокруглень настільки великі, що відцентровими силами в таких потоках можна знехтувати.
  • 3. Кривизна живих перетинів при нерівномірному розподілі швидкості настільки невелика, що їх можна розглядати як плоскі.
  • 4. Гідродинамічний тиск в живих перетинах розподіляється за законами гідростатики, тобто сума для всіх точок даного живого перерізу. Отже, рівень в п'єзометрах при плавно змінюється рух у всіх точках живого перерізу потоку буде одним і тим же (рис. 4.29).

Схема до визначення величини гідродинамічного тиску

Рис. 4.29. Схема до визначення величини гідродинамічного тиску

У разі плавноізменяющегося руху рівняння Бернуллі для елементарної цівки можна поширити і на потік з поперечним перерізом кінцевих розмірів, швидкості в різних точках якого різні. Однак в гідравліці зазвичай розрахунки ведуться за середнім швидкостям. Для приведення результатів розрахунків за середнім швидкостям у відповідність з розрахунками по дійсним швидкостям вводяться деякі поправочні коефіцієнти (коефіцієнт Коріоліса, див. Нижче).

Таким чином, плавно змінюється рух можна вважати практично одновимірним, тобто покласти, направивши вісь х паралельно потоку. Звідси. Звідси з рівняння нерозривності. Тоді система рівнянь Нав'є - Стокса прийме вигляд

Похідні від швидкості по змінним у і z означають, що швидкість змінюється за цим змінним, тоді як

Останні два рівняння переходять у рівняння гідростатики Ейлера, а це означає, що в площині yOz тиску розподіляються за законом гідростатики.

Поширимо рівняння Бернуллі для елементарної цівки реальної рідини у вигляді

(4.22)

на потік реальної рідини.

Права і ліва частини цього рівняння є питома енергія рідини, тобто енергія, віднесена до одиниці ваги. Ваговій витрата елементарної цівки визначається за формулою

де - перетин елементарної цівки; - об'ємна витрата.

Множачи обидві частини рівняння (4.22) на, отримаємо не питому, а повну енергію елементарної цівки в перетинах 1 і 2 і повну втрату цієї енергії між перетинами 1 і 2 в одиницю часу, тобто, де - енергія цівки в 1-му перерізі; - енергія цівки у 2-му перерізі; - втрата енергії між 1-м і 2-м перерізами.

Тоді

Для того щоб отримати подібні співвідношення потужностей для всього потоку

необхідно провести інтегрування:

(4.23)

Перетворимо ці інтеграли:

Так як при плавноізменяющемся русі то у всіх точках даного перетину і.

Аналогічно

Запишемо третій доданок в лівій частині співвідношення (4.23) у вигляді

т. е. висловимо його як добуток деякого коефіцієнта а на швидкісний напір, підрахований по середній швидкості потоку й, і на ваговій витрата рідини

Коефіцієнт а називають коефіцієнтом кінетичної енергії потоку, або коефіцієнтом Коріоліса. Таким чином, а являє ставлення кінетичної енергії потоку до кінетичної енергії, обчисленої в припущенні, що швидкості всіх точок живого перерізу потоку рівні середньої швидкості потоку:

(4.24)

Крім того, з формули (4.24) слід

Звідси укладаємо, що коефіцієнт а характеризує нерівномірність розподілу швидкостей по перетину потоку. Для ламінарного режиму, для турбулентного режиму

Істотно більше значення а для ламінарного режиму течії в порівнянні з турбулентним пояснюється більшою нерівномірністю швидкості в поперечному перерізі потоку при ламінарному режимі (див. Профілі швидкостей ламінарного і турбулентного режимів течії, наведені на рис. 6.17).

Останній інтеграл у співвідношенні (4.23) буде дорівнює

Тоді рівняння Бернуллі для потоку прийме вигляд

Поділивши на ваговій витрата рідини G = γQ обидві частини рівняння, отримаємо співвідношення для питомих енергій потоку

Зазвичай для спрощення гідравлічних розрахунків трубопроводів для турбулентних потоків приймають, і рівняння Бернуллі для потоку буде мати вигляд

Розглянемо розподіл напорів в рідини, що рухається в трубопроводі, що має звуження в середній його частині (рис. 4.30). Виділимо три характерні перетину, в яких розташуємо п'єзометри і трубки Піто (опис трубок див. У параграфі 4.14).

На рис. 4.30 при перебігу рідини в трубопроводі можуть бути виділені наступні характерні лінії:

I - лінія геометричних напорів;

II - пьезометрические лінія;

III - лінія повного напору.

Графічна ілюстрація рівняння Бернуллі

Рис. 4.30. Графічна ілюстрація рівняння Бернуллі

Через позначені втрати напору відповідно на ділянках між першим і другим, а також другим і третім перетинами.

Стосовно до рис. 4.30 рівняння Бернуллі запишеться у вигляді

На рис. 4.30 відзначені всі напори, що входять до рівняння Бернуллі. Зокрема, ясно, що п'єзометричний натиск у вузькому перерізі зменшується, а швидкісний напір зростає. Максимальна втрата напору має місце в третьому розтині (, втрати на тертя і в місцевих опорах см. В гол. 6).

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >