ОСНОВИ ТЕОРІЇ ГІДРОДИНАМІЧНОЇ ПОДІБНОСТІ. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

Після вивчення глави 5 бакалавр повинен:

знати

  • • основні поняття і визначення теорії подібності;
  • • фізичний зміст критеріїв подібності;
  • • метод аналізу розмірностей;
  • • основи математичного моделювання;
  • • математичні постановки крайових задач гідромеханіки;
  • • відміну параболічних рівнянь від гіперболічних;

вміти

  • • використовувати теорію подібності при вирішенні практичних завдань;
  • • застосовувати теореми теорії подібності при виконанні математичного моделювання;
  • • знаходити рішення крайових задач, використовуючи метод розділення змінних та інтегральні методи;

володіти

• математичним апаратом розв'язання крайових задач гідромеханіки.

Існує два методи дослідження фізичних явищ - аналітичний та експериментальний. При аналітичному дослідженні руху рідини завдання зводиться до інтегрування системи диференціальних рівнянь при заданих умовах однозначності. Наприклад, для в'язкої нестисливої рідини маємо систему диференціальних рівнянь

(5.1)

(5.2)

де (5.1) - система рівнянь Нав'є - Стокса, записаних у векторній формі (див. параграф 4.9); (5.2) - рівняння нерозривності. Крім того, повинні бути задані початкові і граничні умови і значення фізичних постійних ρ і v.

В принципі сукупністю системи основних диференціальних рівнянь і умов однозначності конкретне одиничне явище визначено цілком. Однак ці рівняння надзвичайно складні (є рівняннями в приватних похідних), і рішення знайдені лише для невеликого числа окремих випадків, до того ж при дуже істотних спрощують передумовах.

Іншим методом дослідження є безпосередній експеримент. При цьому вимірюються ті величини, які становлять прямої практичний інтерес, і знаходяться зв'язку, що допускають безпосереднє додаток. Проте дані, отримані з досвіду, будуть ставитися тільки до того окремого випадку, для якого виконувався експеримент. Необхідно знайти шляхи узагальнення даних досвіду на інші споріднені явища. Це дозволило б на підставі небагатьох експериментів судити про параметри рідини в численних родинних явищах. Задача знаходження науково обгрунтованого методу узагальнення даних досвіду вирішується теорією подібності, яка і є вченням про методи узагальнення даних досвіду.

Основні поняття та визначення теорії подібності

Дамо деякі визначення теорії подібності.

Під класом явищ розуміється система диференціальних рівнянь, що описують фізичне явище. Наприклад, системою рівнянь Нав'є - Стокса і рівнянням нерозривності описуються всі можливі види руху в'язкої нестисливої рідини в каналах будь-якої форми.

Під одиничним явищем розуміється система диференціальних рівнянь з накладеними на неї умовами однозначності.

Під групою явищ розуміється система диференціальних рівнянь з накладеними на неї подібними умовами однозначності. Наприклад, явища, що протікають в каналах, геометрично подібних, будуть ставитися до однієї групи явищ.

Основна ідея теорії подібності полягає у виділенні усередині класу явищ більш вузьких груп.

Подібними явищами називаються такі, у яких відношення характеризують їх змінних є постійне число. Існують наступні види подоби.

1. Для того щоб модель була механічно подібна зразком (об'єкту, для якого створюється модель), насамперед повинне дотримуватися геометрична подібність; для цього відношення довжин сходственних відрізків зразка та моделі повинно бути однаковим, тобто

де - деякий лінійний розмір потоку моделі; - відповідний розмір потоку в зразку; - константа геометричного подібності (лінійний масштаб моделі).

З останньої формули слідують також співвідношення

де - площі моделі і зразка; - обсяги моделі і зразка відповідно.

2. При отриманні моделі крім геометричної подоби необхідно дотримуватися ще динамічне подобу, яке означає, що всі сили, що викликають розглядаються руху в моделі, повинні бути змінені з аналогічними силами у зразку в одне і те ж число раз.

Сила F визначається у вигляді твору маси т на прискорення а, тобто Так як розмірність маси, а прискорення, то розмірність сили буде

Звідси випливає, що для динамічного подоби необхідно дотримання співвідношення

(5.3)

де;;; - константа динамічного подібності (масштаб сил).

Умова (5.3) є математичним виразом загального закону динамічного подоби, який вперше був сформульований І. Ньютоном.

У теорії подібності доводиться, що при виконанні геометричного і динамічного подоби буде дотримуватися також і кінематичне подобу.

У випадку, коли з діючих сил превалюють сили тертя, то із закону Ньютона для дотичного напруження можна отримати, що. Звідси, враховуючи формулу (5.3) і співвідношення, отримуємо

Останнє співвідношення представляє умову динамічної подоби Рейнольдса при дії сил внутрішнього тертя.

Якщо вплив в'язкості (сил тертя) незначно і рух рідини відбувається в основному під дією сил тяжіння, то, де g - прискорення сили тяжіння.

Співвідношення (5.3) в даному випадку приймає вигляд

Останнє співвідношення називається законом подоби Фруда.

Таким чином, для двох подібних явищ повинні існувати співвідношення типу

і т.д.,

де зберігають постійні значення у відповідних точках подібних систем. Тому ці величини називаються константами подоби.

Взагалі кажучи, подібних явищ буває не два, а нескінченно велика кількість. Ці явища складають групу подібних явищ. Тому вираз виду є групове перетворення явищ, де приймає послідовно постійні значення при переході від одного явища до іншого, подібного першому.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >