Метод аналізу розмірностей

У випадках, коли досліджувані процеси не описуються диференціальними рівняннями, одним із шляхів їх аналізу є експеримент, результати якого найбільш доцільно представляти в узагальненій формі (у вигляді безрозмірних комплексів). Методом складання таких комплексів є метод аналізу розмірностей.

Розмірність якої-небудь фізичної величини визначається співвідношенням між нею і тими фізичними величинами, які прийняті за основні (первинні). У кожній системі одиниць є свої основні одиниці. Наприклад, в Міжнародній системі одиниць виміру СІ за одиниці вимірювання довжини, маси і часу відповідно прийняті метр (м), кілограм (кг), секунда (с). Одиниці виміру інших фізичних величин, так званих похідних величин (вторинних), приймаються на підставі законів, що встановлюють зв'язок між цими одиницями. Цей зв'язок може бути представлена у вигляді так званої формули розмірності.

Теорія розмірностей заснована на двох положеннях.

  • 1. Відношення двох числових значень якої-небудь величини не залежить від вибору масштабів для основних одиниць виміру (наприклад, відношення двох лінійних розмірів не залежить від того, в яких одиницях вони будуть вимірюватися).
  • 2. Будь співвідношення між розмірними величинами можна сформулювати як співвідношення між безрозмірними величинами. Це твердження представляє так звану П-теорему в теорії розмірностей.

З першого положення випливає, що формули розмірності фізичних величин повинні мати вид статечних залежностей

де - розмірності основних одиниць.

Математичне вираження П-теореми можна отримати, виходячи з таких міркувань. Нехай деяка розмірна величина а 1 є функцією декількох незалежних між собою розмірних величин, тобто

Звідси випливає, що

Припустимо, що число основних розмірних одиниць, через які можуть бути виражені всі п змінних величин, одно т. П-теорема встановлює, що якщо все п змінних величин виразити через основні одиниці, то їх можна згрупувати в безрозмірних П-членів, т.е .

При цьому кожен П-член буде містити змінну величину.

В задачах гідромеханіки число змінних, що входять в П-члени, повинна дорівнювати чотирьом. Три з них будуть визначальними (зазвичай це характерна довжина, швидкість течії рідини і її щільність) - вони входять в кожний з П-членів. Одна з цих змінних (четверта) є різною при переході від одного П-члена до іншого. Показники ступеня визначальних критеріїв (позначимо їх через х, у, z) є невідомими. Показник ступеня четвертої змінної для зручності приймемо рівним -1.

Співвідношення для П-члснов матимуть вигляд

Вхідні в П-члени змінні можна виразити через основні розмірності. Так як ці члени є безрозмірними, то показники ступеня кожної з основних розмірностей повинні бути рівні нулю. В результаті для кожного з П-членів можна скласти по три незалежних рівняння (по одному для кожної розмірності), які зв'язують показники ступеня входять до них змінних. Рішення отриманої системи рівнянь дає можливість знайти числові значення невідомих показників ступеня х, у, z. У результаті кожен з П-членів визначається у вигляді формули, складеної з конкретних величин (параметрів середовища) у відповідній ступеня.

Як конкретний приклад знайдемо рішення задачі визначення втрат напору на тертя при турбулентному плині рідини [16].

Із загальних міркувань можна зробити висновок, що втрата тиску в трубопроводі залежить від наступних основних чинників: діаметра d, довжини l, шорсткості стінок k, щільності ρ і в'язкості μ середовища, середньої швидкості течії v, початкової напруги зсуву, тобто

або

(5.8)

Рівняння (5.8) містить п = 7 членів, а число основних розмірних одиниць. Згідно П-теоремі одержимо рівняння, що складається з безрозмірних П-членів:

(5.9)

Кожен такий П-член містить 4 змінні. Беручи в якості основних змінних діаметр d, швидкість v, щільність і комбінуючи їх з іншими входять до рівняння (5.8) змінними, отримуємо

Складаючи рівняння розмірності для першого П-члена, матимемо

Складаючи показники ступеня при однакових підставах, знаходимо

Для того щоб розмірність П 1 дорівнювала 1 1 - безрозмірна величина), необхідно зажадати рівності нулю всіх показників ступенів, тобто

(5.10)

Система алгебраїчних рівнянь (5.10) містить три невідомі величини x 1, у 1, z 1. З рішення цієї системи рівнянь знаходимо x 1 = 1; у 1 = 1; z 1 = 1.

Підставляючи ці значення показників ступеня в перший П-член, отримуємо

Аналогічно для інших П-членів матимемо

Підставляючи отримані П-члени в рівняння (5.9), знаходимо

Вирішимо це рівняння щодо П4:

Висловимо звідси:

Враховуючи, що втрати напору на тертя рівні різниці пьезометріческіх напорів, матимемо

Позначивши комплекс, що знаходиться у квадратних дужках, через, остаточно отримаємо

Останній вираз представляє відому формулу Дарсі - Вейбаха, де

Формули для розрахунку коефіцієнта тертя до розглянуті в параграфах 6.13, 6.14.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >