Математичне моделювання процесів гідродинаміки

Диференціальне рівняння Нав'є - Стокса (5.4) є математичною моделлю цілого класу явищ гідродинаміки, і при його інтегруванні може бути отримано незліченна безліч різних рішень. Щоб з цієї безлічі знайти одне приватне рішення, відповідне певної конкретної задачі, необхідно мати додаткові дані, що не містяться у вихідному диференціальному рівнянні. Ці додаткові умови, які в сукупності з диференціальним рівнянням однозначно визначають конкретну задачу гідродинаміки, називаються умовами однозначності.

Розглянемо склад цих умов.

  • 1. Геометричні умови характеризують форму і розміри тіла, в якому протікає процес гідродинаміки. Наприклад, якщо розглядається кругла труба, то для визначення розподілу швидкості і тиску необхідно знати її довжину і діаметр. При інших формах труб і каналів в геометричних умовах необхідно враховувати всі їхні характерні особливості, пов'язані з геометричною конфігурацією об'єкта.
  • 2. Фізичні умови характеризують фізичні властивості середовища (в'язкість, щільність і ін.).
  • 3. Граничні умови характеризують особливості динамічної взаємодії досліджуваної середовища на кордонах розглянутого об'єкта.
  • 4. Тимчасові, або початкові, умови характеризують стан середовища у вихідний (початковий) момент часу.

Перераховані умови в сукупності визначають одне (конкретне) явище гідродинаміки, тому вони і названі умовами однозначності, або умовами єдиності.

Для тіла певної геометричної форми з певними (відомими) фізичними властивостями умови однозначності зводяться до завдання початкових і граничних умов. Ці умови в сукупності називаються крайовими умовами - початкова умова є тимчасовим крайовим умовою, а гранична умова - просторовим. Диференціальні рівняння гідродинаміки спільно з крайовими умовами складають крайову задачу гідродинаміки. Для сталого (стаціонарного) процесу в завданні початкової умови немає необхідності, і в цьому випадку крайова задача буде складатися з рівнянь гідродинаміки і граничних умов.

Аналітичні рішення гіперболічних рівнянь в умовах гідравлічного удару

Нижче будуть розглянуті конкретні приклади застосування математичного моделювання до вирішення складних гідродинамічних завдань. І зокрема, це задача про розподіл швидкості в динамічному прикордонному шарі, а також задача про розподіл швидкості при розгінному перебігу Куетта з урахуванням релаксаційних властивостей рідини (див. Параграфи 5.7-5.9). У цьому параграфі розглядаються рішення гіперболічних рівнянь в умовах гідравлічного удару, який являє собою стрибок тиску в будь-якій системі, заповненої рідиною, викликаний вкрай швидкою зміною швидкості потоку цієї рідини за дуже малий проміжок часу.

У випадку ідеальної рідини рішення крайової задачі про розподіл тиску в трубопроводі по просторовій змінної і часу зводиться до інтегрування класичного лінійного гіперболічного рівняння, методи вирішення якого в даний час добре розроблені. Труднощі розв'язання крайових задач про перебіг реальних в'язких рідин пов'язані з їх нелінійністю через залежності коефіцієнта гідравлічного опору від швидкості. Рівняння, що описують розподіл тиску і швидкості для нестисливої рідини, в даному випадку мають вигляд

(5.11)

(5.12)

де р - тиск; х - поздовжня координата; t - час; - щільність; - швидкість; - коефіцієнт гідравлічного опору (коефіцієнт тертя), що залежить від швидкості течії середовища; - швидкість звуку в крапельної пружною рідини, що тече в трубі з пружними стінками, тобто швидкість поширення ударної хвилі - хвилі гідравлічного обурення (співвідношення справедливо при і; k - модуль пружності рідини; - товщина стінки труби; d - діаметр труби; Е - модуль пружності матеріалу стінки труби.

Рішення нелінійних рівнянь (5.11), (5.12) можливо лише шляхом чисельного інтегрування. Для спрощення нелінійного рівняння (5.11) І. А. Парний [20] запропонував спосіб лінеаризації другого доданка в його правій частині, прийнявши множник постійним і рівним його середньому значенню подлине труби і часу:

Величина 2 а для ламінарного режиму, враховуючи формулу Пуазейля

де - число Рейнольдса; v - кінематична в'язкість, приводиться до вигляду

При турбулентному режимі течії другий доданок в правій частині рівняння (5.11) осредняются в деякому інтервалі швидкості із заміною кривої зміни функції деяким еквівалентним відрізком прямої. Тоді формула для величини 2 а приводиться до вигляду

,

де приймається.

З урахуванням розглянутої лінеаризації рівняння (5.11) приймає вигляд

(5.13)

Рівняння (5.12), (5.13) зазвичай вирішуються операційними методами або методом контурного інтегрування, що є різновидом операційних методів.

З метою спрощення отримання аналітичного рішення рівняння (5.12), (5.13) в деяких випадках зводяться до одного гіперболічному рівняння щодо тиску або швидкості. Диференціюючи рівняння (5.12) по змінній t, а рівняння (5.13) - по змінній х і зіставляючи отримані співвідношення, знаходимо

(5.14)

Рівняння (5.14) з урахуванням рівняння (5.12) приймає вигляд

(5.15)

Точно так само можна отримати гіперболічне рівняння і для швидкості

(5.16)

Як конкретний приклад отримання аналітичного рішення рівнянь (5.15), (5.16) розглянемо крайову задачу про поширення стрибка тиску в трубопроводі з нерухомою в початковому стані рідиною. Припустимо, що в перетині х = 0 відбулося стрибкоподібне зміна тиску, а перетин х = l перекрито (швидкість дорівнює нулю). Потрібно знайти поширення тиску по довжині трубопроводу в часі [20].

На практиці подібна задача зустрічається при розрахунку гідравлічних регуляторів або передач, коли в перетині х = 0 знаходиться джерело тиску, а в перетині х = l до трубопроводу приєднаний якоїсь прилад (наприклад, регулятор витрати рідини або тиску), включається в роботу лише після того, коли тиск в даному перетині досягне певної (заданої) величини. Практичний інтерес тут представляє визначення запізнювання імпульсу і його величини, що залежить від довжини труби, в'язкості рідини і коефіцієнта гідравлічного опору. До того ж визначення величини імпульсу в перетині х = l представляє рішення задачі про гідравлічному ударі.

Математична постановка задачі по визначенню тиску в даному випадку буде

(5.17)

де р0 - початковий тиск у трубі; р 1 - тиск, прикладена в точці х = 0 і чинне протягом усього часу процесу аж до встановлення стаціонарного стану (); l - довжина трубопроводу.

З рішення задачі (5.17) можна отримати повну інформацію про розподіл швидкості і тиску по довжині трубопроводу в часі. Розподіл швидкості в перерізі х = 0 при відомому з рішення задачі (5.17) тиску може бути знайдено шляхом інтегрування рівняння (5.12).

Послідовність отримання точного аналітичного рішення задачі (5.17) шляхом використання методу розділення змінних Бернуллі - Фур'є дана в [20]. Нижче буде розглянуто метод отримання точного аналітичного рішення шляхом спільного використання класичного аналітичного методу розділення змінних і ортогональних методів зважених нев'язок.

З метою спрощення математичної постановки задачі і процесу отримання аналітичного рішення, а також для знаходження вирішення найбільш загального вигляду введемо такі безрозмірні змінні і параметри:

де - безрозмірне тиск; - число Фур'є (безрозмірний час); у - безрозмірна координата; параметр, що характеризує гідравлічний опір рідини, що враховує її в'язкість, швидкість звуку в ній, коефіцієнт гідравлічного опору, а також довжину трубопроводу.

З урахуванням прийнятих позначень задача (5.17) приводиться до вигляду

(5.18)

Для зручності отримання аналітичного рішення зробимо заміну незалежної змінної

Щодо змінної с, задача (5.18) набуде вигляду

(5.19)

(5.20)

(5.21)

Рішення завдання (5.19) - (5.21) приймається у вигляді

(5.22)

Підставляючи співвідношення (5.22) у рівняння (5.19), одержуємо

(5.23)

(5.24)

де - деяка постійна.

Підставляючи співвідношення (5.22) в граничні умови (5.21), одержуємо

(5.25)

Рішення крайової задачі Штурма - Ліувілля (5.24), (5.25) приймається у вигляді

(5.26)

Власні функції зважаючи однорідності рівняння (5.24) з точністю до постійного множника (який в даному випадку можна прийняти рівним одиниці) знаходяться з (5.26).

Очевидно, що співвідношення (5.26) задовольняє граничним умовам (5.25). Підставляючи співвідношення (5.26) у рівняння (5.24), одержуємо формулу для визначення власних чисел:

Характеристичне рівняння для рівняння (5.23) буде

(5.27)

Рівняння (5.27) для кожного власного числа має два корені

(5.28)

Якщо дискримінант, то з формули (5.28) для кожного власного числа матимемо два дійсних негативних кореня і. З урахуванням знайдених значень і рішення рівняння (5.23) для кожного власного числа буде

, (5.29)

де, - невідомі коефіцієнти.

Підставляючи вирази (5.26), (5.29) у формулу (5.22), знаходимо

(5.30)

Кожне приватне рішення (5.30) точно задовольняє рівнянню (5.19) і граничним умовам (5.21), але жодне з них не задовольняє початковим умовам (5.20). Для їх виконання складемо суму приватних рішень

(5.31)

Невідомі коефіцієнти c1k і с2k визначаються з початкових умов (5.20). Підставляючи вираз (5.31) в друге рівність (5.20), одержуємо

(5.32)

Підставляючи вираз (5.31) в першу рівність (5.20), з урахуванням рівності (5.32) одержуємо

(5.33)

Співвідношення (5.33) являє розкладання одиниці в ряд Фур'є за власними функціями крайової задачі Штурма - Ліувілля на відрізку | 0; 1 |. Помножимо обидві частини співвідношення (5.33) на і знайдемо інтеграл в межах від до:

(5.34)

Співвідношення (5.34) через ортогональності косинусів приймає вигляд

(5.35)

Обчислюючи інтеграли у виразі (5.35), знаходимо

Після визначення постійних інтегрування точне аналітичне рішення задачі (5.19) - (5.21) знаходиться з рівності (5.31).

Якщо у співвідношенні (5.28), то будемо мати такі / 1ва комплексних кореня:,, де;;

Приватні рішення рівняння (5.23) будуть

Па основі приватних рішень запишемо загальний інтеграл рівняння (5.23):

(5.36)

де, - невідомі постійні.

Співвідношення (5.36) можна переписати наступним чином:

(5.37)

Використовуючи формули Ейлера,, співвідношення (5.37) наведемо до виду

(5.38)

Співвідношення (5.38) з урахуванням позначень; буде

(5.39)

Підставляючи співвідношення (5.26), (5.39) в рішення (5.22) і складаючи суму приватних рішень, знаходимо

(5.40)

Для визначення постійних і використовуються початкові умови (5.20). Підставляючи вираз (5.40) в друге рівність (5.20), одержуємо

Звідси знаходимо

Підставляючи вираз (5.40) в першу рівність (5.20), знаходимо

(5.41)

Співвідношення (5.41) являє розкладання одиниці в ряд Фур'є за власними функціями крайової задачі Штурма - Ліувілля на відрізку [0; 1]. Поступаючи так само, як при визначенні коефіцієнта (див. Вище співвідношення (5.33)), матимемо

Після визначення постійних інтегрування і точне аналітичне рішення задачі (5.19) - (5.21) в замкнутому вигляді знаходиться з виразу (5.40).

На рис. 5.1-5.7 дано результати розрахунків за формулами (5.31), (5.40) конкретної задачі про розподіл тиску у що знаходиться в сталевому трубопроводі нафти за таких умов: v = 7,65 • 10-6 м2 / с; d = 0,1м; λ = 0,01; ʋ0 = 0; ʋ1 = 2 м / с; з = 998м / с; ρ = 840кг / м3; k = 1500МПа; E = 2-105 МПа; р0 = 10атм = 10 • 105 Па; р 1 = 100 атм = 100 • 105 Па.

Розрахунки виконувалися для наступних довжин трубопроводу: l = 500, 100 і 1 км.

Відповідно зазначеним довжинах трубопроводу число Ро, для ламінарного режиму течії було 6,648 • 10-3; 0,1662; 1662,0277, для турбулентного режиму - 0,8964 • 10_3; 0,02241; 224,1 відповідно.

Переміщення фронту гідравлічної хвилі по координаті ξ, в часі Fo (For = 6,648 • 10-3)

Рис. 5.1. Переміщення фронту гідравлічної хвилі по координаті ξ, в часі Fo (Fo r = 6,648 • 10 -3)

Розподіл тиску в трубопроводі при For = 6,648 • 10-3

Рис. 5.2. Розподіл тиску в трубопроводі при Fo r = 6,648 • 10 -3

Розподіл тиску в трубопроводі при For = 10-7

Рис. 5.3. Розподіл тиску в трубопроводі при Fo r = 10 -7

Розподіл тиску в трубопроводі при For = 0,1662

Рис. 5.4. Розподіл тиску в трубопроводі при Fo r = 0,1662

Розподіл тиску в точці ξ = 0 в часі Fo при For = 0,1662 (n = 100, де п - число членів рішень (5.31), (5.40))

Рис. 5.5. Розподіл тиску в точці ξ = 0 в часі Fo при Fo r = 0,1662 (n = 100, де п - число членів рішень (5.31), (5.40))

Розподіл тиску в трубопроводі при For = 0,1662 (п = 100)

Рис. 5.6. Розподіл тиску в трубопроводі при Fo r = 0,1662 (п = 100)

Розподіл тиску в трубопроводі при For = 0,1662 (п = 100)

Рис. 5.7. Розподіл тиску в трубопроводі при Fo r = 0,1662 (п = 100)

Аналіз результатів розрахунків дозволяє зробити висновок, що при будь-яких значеннях числа For зміна тиску характеризується рухом гідравлічної хвилі, на фронті якій спостерігається стрибок тиску від його значення на фронті до величини тиску невозмущенного потоку. Область, що знаходиться за межами фронту гідравлічної хвилі, виявляється невозмущенной, і тиск тут одно початкового тиску р 0. Відмічається лінійна закономірність руху фронту гідравлічного обурення по просторовій змінною в часі (див. Рис. 5.1), що підтверджується дослідженнями рішення рівняння виду (5.17), виконаними іншими авторами [1] стосовно до визначення температури в тілі з урахуванням кінцевої швидкості поширення теплоти.

Залежно від величини числа For спостерігається істотна відмінність одержуваних результатів. Так, при дуже малих його значеннях стрибок тиску має місце лише на деяких початкових ділянках трубопроводу. Наприклад, при For = 6,648-10-3 стрибок тиску спостерігається лише в діапазоні 0 ≤ Fo ≤ 0,07 (див. Рис. 5.2). Для всіх Fo> 0,07 для цього значення For рішення для безрозмірного тиску повністю збігається з рішенням класичного параболічного рівняння теплопровідності, тобто зростання тиску не супроводжується виникненням його стрибків. Для дуже малих значень For стрибок тиску спостерігається лише на незначній по довжині ділянці трубопроводу поблизу перетину х = l і при малих значеннях часу. Наприклад, при For = 10-7 скачки тиску практично закінчуються при Fo≈10-6. Фронт гідравлічного обурення для даного моменту часу переміщається лише на величину ξ = 0,003, що складає 0,3% від всієї довжини трубопроводу (див. Рис. 5.3).

На всій іншій частини трубопроводу при Fo> 10-6 підвищення тиску відбувається без стрибків аж до досягнення стаціонарного стану, коли тиск в перетині х = l стає рівним тиску, заданому граничною умовою першого роду в перетині х = 0. Рішення завдання (5.19) - (5.21) на тимчасовому ділянці 10-6≤Fo≤∞ (при For = 10-7) повністю збігається з класичним точним аналітичним рішенням параболічного рівняння теплопровідності при симетричних граничних умовах першого роду [12] (див. Рис . 5.3). Значення For, близькі до нульових, можуть бути в наступних випадках: велика довжина трубопроводу; високов'язка рідина; велике значення коефіцієнта гідравлічного опору.

При значеннях числа For> 0,07 стрибок тиску в трубопроводі спостерігається аж до моменту часу, коли фронт обурення досягає координати ξ = 0 (рис. 5.8- 5.10). Наприклад, для For = 0,1662 фронт гідравлічного обурення досягає координати ξ = 0 при Fo ≈ 0,5477 (див. Рис. 5.4, 5.5). Тиск на фронті в цей момент часу складає Θ = 0,6. При подальшому збільшенні часу спостерігається зворотна хвиля гідравлічного обурення зі стрибком тиску в бік, протилежний скачку тиску в прямій хвилі. По суті, це є стрибок тиску, що викликає гідравлічний удар.

Розподіл тиску в точці ξ = 0 в часі Fo при For = 0,1662 (n = 100)

Рис. 5.8. Розподіл тиску в точці ξ = 0 в часі Fo при Fo r = 0,1662 (n = 100)

Розподіл тиску в трубопроводі при For = 224,1 (п = 100)

Рис. 5.9. Розподіл тиску в трубопроводі при Fo r = 224,1 (п = 100)

Зі збільшенням часу спостерігається періодичне зміна тиску в кожній точці трубопроводу в часі аж до настання стаціонарного стану, при якому тиск по всій довжині трубопроводу стає рівним тиску p 1 = 100 атм = 100 • 105 Пa, заданому на вході, тобто в перетині х = 0 (див. рис. 5.8, 5.10).

Розподіл тиску в точці ξ = 0 в часі Fo при For = 224,1 (п = 100)

Рис. 5.10. Розподіл тиску в точці ξ = 0 в часі Fo при Fo r = 224,1 (п = 100)

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >