Розподіл швидкості в умовах гідравлічного удару

Процес течії реальних вузьких нестискуваних рідин описується диференціальними рівняннями виду (5.11), (5.12). Вище (див. Параграф 5.6) було зазначено, що ці два рівняння можуть бути зведені до одного гіперболічному рівняння щодо тиску або швидкості (рівняння (5.15) або (5.16)). Рішення рівняння щодо тиску було дано в параграфі 5.6. Знайдемо рішення крайової задачі про розподіл швидкості рідини, що рухається в трубопроводі довжиною l, для випадку, коли початкова швидкість по всій довжині трубопроводу дорівнює v0 = const. У момент часу t = 0 відбувається миттєве закриття засувки в перетині х = l, і, отже, швидкість рідини в цьому перерізі стає рівною нулю. Потрібно визначити розподіл швидкості але довжині трубопроводу в будь-який момент часу аж до настання стаціонарного стану, при якому швидкість течії рідини по всій довжині трубопроводу буде дорівнює нулю.

Математична постановка задачі про розподіл швидкості по довжині трубопроводу в часі в даному випадку включає рівняння (5.16) з наступними початковими і граничними умовами

(5.42)

де - початкова швидкість, однакова по всій довжині трубопроводу.

Після знаходження рішення задачі (5.16), (5.42) зміна тиску в часі в перетині х = l, в якому відбувається максимальне збільшення тиску при гідравлічному ударі, знаходиться шляхом інтегрування рівняння (5.13), тобто

де - тиск в перетині х = 0 (передбачається відомим).

Введемо наступні безрозмірні змінні і параметри:

де - безрозмірна швидкість; Fo - число Фур'є (безрозмірний час); ξ - безрозмірна координата; For = const - безрозмірний параметр.

З урахуванням прийнятих позначень задача (5.16), (5.42) приводиться до вигляду

(5.43)

Завдання (5.43) повністю збігається із завданням (5.19) - (5.21), тому всі результати досліджень стосовно до задачі (5.19) - (5.21), представлені на рис. 5.1-5.9, можуть бути застосовані і до задачі (5.43).

У випадку, коли відомо рішення задачі (5.18) щодо тиску (див. Рішення виду (5.31), (5.40)), швидкість в перерізі ξ = 0 може бути знайдена без необхідності отримання рішення задачі (5.43). Для цього достатньо проинтегрировать рівняння (5.12) у межах довжини трубопроводу:

Звідси знаходимо

Враховуючи, що стосовно до задачі (5.17) одержуємо співвідношення для швидкості в перерізі х = 0:

де тиск р (х, t) (в безрозмірному вигляді) знаходиться з співвідношень (5.31), (5.40).

Аналітичні рішення гіперболічних рівнянь руху при розгінному перебігу Куетта

Вивчення розгінних течій (течій, які виникають зі стану спокою) становить значний інтерес в техніці, так як дозволяє виконати оцінку формування в часі прикордонного шару на стінці, що рухається в нерухомому середовищі, або при русі потоку середовища вздовж нерухомої стінки.

Розгін течії Куетта має місце у випадку, коли на деякій відстані 8 від рухомої стінки знаходиться паралельна їй нерухома стінка. Математична постановка задачі в даному випадку має вигляд (рис. 5.11, а)

(5.44)

(5.45)

де і - швидкість рідини; у - координата; t - час; v - кінематична в'язкість; - відстань між рухомою і нерухомою пластинами; - швидкість руху пластини в напрямку, перпендикулярному осі у.

Відзначимо, що рівняння (5.44) отримано з системи диференціальних рівнянь Нав'є - Стокса для випадку шаруватого одновимірного течії при відсутності масових сил і градієнта тиску.

Розподіл швидкостей в часі при перебігу Куетта (рішення параболічного рівняння);  Fo = vt / δ2

Рис. 5.11. Розподіл швидкостей в часі при перебігу Куетта (рішення параболічного рівняння); Fo = vt / δ 2:

а - загальний випадок; б - випадок симетричного течії

Завдання (5.44), (5.45) аналогічна задачі нестаціонарної теплопровідності для нескінченної пластини при несиметричних граничних умовах першого роду, точне аналітичне рішення якої відомо [12]. Якісна картина розподілу швидкості течії середовища в часі дана на рис. 5.11, а, з якого випливає, що зі збільшенням часу розподіл швидкостей між пластинами наближається до лінійного.

Відомо, що при вирішенні задач теплопровідності для рівнянь параболічного типу, аналогічних рівнянню (5.44), мають місце так звані парадокси теорії теплопровідності. Вони полягають у тому, що поблизу стінки, де задаються граничні умови першого роду, з отриманих рішень слідують нескінченні величини теплового потоку і швидкостей руху ізотерм. Це пов'язано з тим, що в основу висновку параболічного рівняння теплопровідності, аналогічного рівнянню (5.44), покладена формула закону Фур'є для теплового потоку

(5.46)

де q - тепловий потік; λ - коефіцієнт теплопровідності; Т - температура; х - координата.

Зазначені парадокси пов'язані з тим, що у формулі (5.46) вже закладена нескінченна швидкість поширення теплового обурення. Справді, відповідно до рішення крайової задачі теплопровідності зміна температури в якій-небудь точці тіла призводить до миттєвого зміни її в усіх інших точках.

Відомо, що в основу висновку системи диференціальних рівнянь Нав'є - Стокса, а отже, і рівняння (5.44) покладено закон Ньютона для дотичного напруження (аналогічний закону Фур'є)

(5.47)

де т - дотичне напруження; μ - динамічна в'язкість.

Точно так само з рішення рівняння (5.44) слідують парадокси, пов'язані з нескінченними значеннями дотичних напружень поблизу стінки і нескінченними швидкостями руху Ізотов (ліній однакових швидкостей) в цій же області середовища. Це пов'язано з тим, що нескінченна швидкість поширення гідравлічних збурень при нестаціонарному перебігу рідини виявляється закладеної у формулі (5.47), згідно якої напруга миттєво слід за швидкістю деформації.

Таким чином, рівняння параболічного типу, виведені на основі дифузійних законів Фур'є, Ньютона, Фіка (перенесення маси), Ома (перенесення електричних потенціалів) та ін., Не містять рішень, що задовольняють нульовим початковим умовам, що пояснюється некоректністю математичних моделей цих завдань. Це пов'язано з тим, що параболічний оператор відповідає тільки строго певних лініях однакових потенціалів (ізотерми, ізотахіі і інш.), Вихід за межі яких неможливий шляхом одного лише розширення початкових і граничних умов.

Тому неможливо отримати криві, невластиві параболическому оператору, одним лише зміною цих умов - шлях, по якому відбувався розвиток теорії крайових задач дифузійного типу. Саме цей шлях і призводить до перерахованих вище парадоксів і некоректно поставленим завданням, коли рішення або не єдино, або не існує, або нестійко [21].

Звідси можна зробити висновок, що в нестаціонарних процесах закони розподілу потенціалів досліджуваних нулів, взагалі кажучи, не підкоряються строго законам Фур'є, Ньютона, Фіка, Ома та ін., Що пов'язано з відсутністю у формулах цих законів параметрів, що враховують кінцеву швидкість поширення описуваних ними збурень.

В основу виведення гіперболічного рівняння теплопровідності

(5.48)

де τr - час релаксації, що враховує інерційність теплового потоку, с, покладена формула Максвелла - Каттанео для теплового потоку [9, 11 - 13]

(5.49)

Формула (5.49) була також отримана А. В. Личаним із запропонованої їм узагальненої системи рівнянь Онзагера, знайденої виходячи з гіпотези про кінцевої швидкості дифузії маси і теплоти [11, 13]:

(5.50)

де - потік субстанції (теплоти, маси і т.д.); - термодинамічні рушійні сили; - постійні феноменологічні коефіцієнти переносу ().

Якщо знехтувати похідної за часом від рушійної сили, то з формули (5.50) для одновимірного потоку теплоти отримуємо формулу (5.49), де;

Однак якщо величиною ∂Х / ∂ t не нехтувати, формула для теплового потоку буде мати вигляд

(5.51)

де

На основі формули (5.51) з використанням рівняння теплового балансу

де с - теплоємність; у - щільність, виводиться гіперболічне рівняння теплопровідності

(5.52)

Таким чином, гіперболічне рівняння (5.52) отримано з урахуванням всіх членів запропонованої А. В. Личаним узагальненої системи рівнянь Онзагера (5.50). Аналогічне рівняння можна отримати, якщо стосовно до формулою (5.46) вводити релаксаційну поправку не тільки для теплового потоку, а й для модуля градієнта температури дт / дх. Облік доданка з похідною третього порядку в рівнянні (5.52) призводить до істотного не тільки кількісному, але і якісні відмінності одержуваних результатів у порівнянні з випадком його відсутності.

Стосовно до течією в'язкопружного середовища Олдройд [11] теоретичним шляхом отримав наступне рівняння:

(5.53)

де - напруга зсуву (дотичне напруження); - деформація зсуву (відносне подовження); - подовження (зсув) по напрямку осі х; - коефіцієнт релаксації (період релаксації) в'язкопружних напруг; - модуль пружності на зсув; у - кут зсуву; η, η '- деякі постійні (феноменологічні коефіцієнти); індекси i, k такі ж, як у формулі (5.50).

Якщо покласти, то рівняння (5.53) виявляється тотожним рівнянню (5.50) [11].

Позначаючи, а також враховуючи, що

співвідношення (5.53) приводимо до увазі

(5.54)

Очевидно, що співвідношення (5.54) за формою записи аналогічно співвідношенню (5.51). Співвідношення (5.54) можна також отримати, якщо врахувати релаксаційні добавки як для дотичного напруження, так і для модуля градієнта швидкості, тобто представляти їх у вигляді співвідношень і. Замінюючи цими співвідношеннями і у формулі (5.47), приходимо до формули (5.54).

При плоскому прямолінійній сдвиговом русі основне рівняння динаміки в напружених приводиться до вигляду

(5.55)

Підставляючи співвідношення (5.54) у формулу (5.55), одержуємо гіперболічне рівняння в напружених

Знайдемо аналогічне рівняння для функції Диференціюючи рівняння (5.55) за часом, знаходимо

(5.56)

Диференціюючи рівняння (5.54) за змінною г /, матимемо

(5.57)

Підставляючи співвідношення (5.57) у рівняння (5.55), одержуємо

(5.58)

Підставляючи рівність (5.56) у рівняння (5.58), знаходимо

(5.59)

Рівняння (5.59) за формою записи аналогічно рівнянню (5.52).

Якщо замість співвідношення (5.54) для дотичного напруження використовувати формулу

то приходимо до наступного гіперболічному рівнянню для функції і (аналогічний вигляд матиме і рівняння для τ):

(5.60)

У цьому випадку одержуємо рівняння, аналогічне рівнянню (5.48)

Відзначимо, що рівняння виду (5.59), (5.60) можуть бути отримані також і для задач дифузії вихору.

Для знаходження точного аналітичного рішення рівняння (5.59) розглянемо крайову задачу при симетричному перебігу Куетта, тобто припустимо, що дві нескінченні плоскопаралельні пластини переміщаються в нерухомому потоці рідини. Оскільки завдання симетрична, то будемо розглядати лише половину ширини каналу (рис. 5.11, б). Граничні умови для рівняння (5.59) в даному випадку будуть мати вигляд

(5.61)

де u 0 - швидкість руху пластини; δ - половина ширини каналу.

Для приведення задачі (5.59), (5.61) до безрозмірного вигляду введемо такі безрозмірні змінні і параметри:

де υ - безрозмірна швидкість; η - безрозмірна координата; Fo - число Фур'є; Foρ = const.

Завдання (5.59), (5.61) з урахуванням прийнятих позначень прийме вигляд

(5.62)

(5.63)

Для зручності отримання аналітичного рішення зробимо заміну змінних

(5.64)

Завдання (5.62), (5.63) з урахуванням співвідношень (5.64) буде

(5.65)

(5.66)

(5.67)

Рішення завдання (5.65) - (5.67) приймається у вигляді

(5.68)

Підставляючи співвідношення (5.68) у рівняння (5.65), знаходимо

(5.69)

(5.70)

де е - деяка постійна.

Граничні умови для рівняння (5.70) виходячи з рівностей (5.67) будуть

(5.71)

Рішення крайової задачі Штурма - Ліувілля (5.70), (5.71) приймається у вигляді

(5.72)

Очевидно, що співвідношення (5.72) задовольняє граничним умовам (5.71).

Підставляючи співвідношення (5.72) у рівняння (5.70), одержуємо формулу для знаходження власних чисел

Характеристичне рівняння для однорідного диференціального рівняння (5.69) має вигляд

(5.73)

Рішення рівняння (5.73) для кожного власного числа буде

(5.74)

Відзначимо, що дискримінант D співвідношення (5.74) при будь-яких і більше нуля, тобто

Отже, зі співвідношення (5.74) для кожного власного числа будемо отримувати два дійсних негативних кореня і,.

Далі діємо аналогічно процедурі, розглянутої в параграфі 5.6. Рішення рівняння (5.69) з урахуванням знайдених значень і має вигляд

(5.75)

де,; - невідомі коефіцієнти.

Підставляючи співвідношення (5.72), (5.75) у рівняння (5.68), знаходимо

(5.76)

Кожне приватне рішення (5.76) задовольняє рівнянню (5.65) і граничним умовам (5.67), але жодне з них не задовольняє початковим умовам (5.66). Складемо суму приватних рішень

(5.77)

Для визначення невідомих коефіцієнтів і використовуються початкові умови (5.66). Підставляючи вираз (5.77) в друге рівність (5.66), одержуємо

(5.78)

Підставляючи вираз (5.77) в першу рівність (5.66), з урахуванням рівності (5.78) одержуємо

(5.79)

Співвідношення (5.79) являє розкладання одиниці в ряд Фур'є за власними функціями крайової задачі Штурма - Ліувілля на відрізку [0; 1]. Помножимо обидві частини співвідношення (5.79) на,, і, інтегруючи в межах від до, матимемо:

(5.80)

Співвідношення (5.80) через ортогональності косинусів приймає вигляд

(5.81)

Обчислюючи інтеграли у виразі (5.81), знаходимо

Після визначення коефіцієнтів і,, точне аналітичне рішення задачі (5.65) - (5.67) знаходиться з формули (5.77).

Безпосередньою підстановкою можна переконатися, що всі вихідні рівняння задачі (5.65) - (5.67) задовольняються точно.

Результати розрахунків за формулою (5.77) наведено на рис. 5.12-5.19. Їх аналіз дозволяє зробити висновок, що при малих значеннях числа Fop (Fop = 10-7) одержувані за формулою (5.77) рішення в діапазоні чисел повністю збігаються з рішенням аналогічної задачі для класичного параболічного рівняння (тобто при Fop = 0 в рівнянні ( 5.65) - див. рис. 5 .12, 5.13).

При Fop <10-6 розподіл швидкості в часі має такі особливості. Наприклад, при Fop = 2 • 10-8 швидкість середовища в околиці точки стрибкоподібно змінюється від величини Θ (1; 2 • 10-8) = 0 безпосередньо на стінці (виконання граничної умови першого роду) до Θ (0,99; 2 • 10-8) = 0,88 в точці ξ = 0,99, тобто на деякій малій відстані від точки ξ = 1. Таким чином, при Fo = 2 • 10-8 по всій товщині шару (0,95≤ξ≤1) швидкість змінюється від 0 = 0,88 при ξ = 0,99 до Θ = 1 при ξ = 0,95, у той час як при ξ = 1 Θ (1; 2 • 10-8) = 0. Аналогічний розподіл швидкості має місце і для інших чисел Fo <10-6. Для всіх чисел Fo, при яких відбувається стрибок швидкості на стінці в околиці точки ξ = 1, яких-небудь збігів з рішенням параболічного рівняння не виявляється. Зі збільшенням числа Fop стрибкоподібне зміна швидкості поблизу стінки в околиці точки ξ = 1 спостерігається вже для великих чисел Fo (див. Рис. 5.14-5.18). Для великих чисел Fo збіг з рішенням параболічного рівняння має місце лише для тих чисел Fo, при яких стрибок швидкості на стінці в околиці точки ξ = 1 не спостерігається, тобто крива зміни швидкості виходить з точки Θ = 0 при ξ = 1 (наприклад, всі криві для Fo> 0,005, наведені на рис. 5.14).

При подальшому збільшенні числа Fop криві швидкості стають більш пологими і при Fop> 20 практично паралельними осі ξ. Стрибок швидкості на стінці в околиці точки ξ = 1 в цьому випадку має місце практично для всіх чисел Fo аж до настання стаціонарного стану.

Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта;  Fop = 10 7,  п = 104 (п - число членів ряду (5.77))

Рис. 5.12. Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта; Fo p = 10 +7; п = 10 чотири (п - число членів ряду (5.77))

Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта;  Fop = 10-7;  п = 105

Рис. 5.13. Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта; Fo p = 10 -7; п = 10 п'ять

Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта;  Fop = 10 3,  п = 104

Рис. 5.14. Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта; Fo p = 10 +3; п = 10 чотири

Па рис. 5.18 дано розподіл швидкості в часі для ξ = 0,9999 при Fop = 10-3. Аналіз результатів дозволяє зробити висновок, що в діапазоні 0 ≤ Fo ≤ 0,2 • 10-3 швидкість точці ξ = 0,9999 дорівнює початкової швидкості Θ (0,9999; 0,2-10-3) = 1. У діапазоні 0 , 2-10-3 ≤Fo≤7 • 10-3 швидкість в цій точці експоненціально зменшується від Θ (0,9999; 0,2 • 10-3) = 1 до Θ (0,9999; 7 • 10-3) = 0. І для всіх Fo ≥ 7 • 10-3 швидкість точці ξ = 0,9999 приймає нульове значення, задане граничною умовою першого роду. Таким чином, при Fop = 10-3 скачки швидкості в околиці поверхні стінки ξ = 1 відбуваються в діапазоні 0 ≤ Fo ≤ 7 • 10_3. Часовий діапазон, в межах якого відбуваються скачки швидкості на стінці, залежить від величини Fop. Із зростанням Fop він зміщується в бік великих чисел Fо.

Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта;  Fon = 1,0;  п = 104

Рис. 5.15. Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта; Fo n = 1,0; п = 10 чотири

Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта;  Fop = 5;  п = 104

Рис. 5.16. Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта; Fo p = 5; п = 10 4

Дослідження показали, що рішення рівняння (5.77) не призводить до появи стрибків швидкості (а отже, і до виникнення Ізотов всередині тіла). У всьому дослідженому діапазоні чисел Fo і Fop не виявлено також і поява негативних швидкостей.

Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта;  Fop = 20;  п = 104

Рис. 5.17. Розподіл швидкості в плоскому каналі при розгінному перебігу Куетта; Fo p = 20; п = 10 4

Розподіл швидкості в часі в точці ξ = 0,9999;  Fop = 10-3;  п = 103

Рис. 5.18. Розподіл швидкості в часі в точці ξ = 0,9999; Fo p = 10 -3; п = 10 три

При використанні формул (5.47), (5.54) в роботі [7] для розгінного течії Куетта знайдено зміна безрозмірного дотичного напруження на нерухомій стінці шляхом інтегрування відповідних цим формулам диференціальних рівнянь. Безрозмірне дотичне напруження в даному випадку вводиться за формулою

де - безрозмірне дотичне напруження; δ - ширина плоского каналу; U 0 - швидкість рухомої пластини.

Зміна дотичного напруження на стінці при Fop = 0,3

Рис. 5.19. Зміна дотичного напруження на стінці при Fo p = 0,3:

1 - рішення рівняння (5.47); 2 - рішення рівняння (5.54)

Аналіз зміни безрозмірного дотичного напруження дозволяє укласти (див. Рис. 5.19), що дотичне напруження на стінці, обумовлене формулою (5.47), при Fo → 0 спрямовується до нескінченного значенням. Напруга, обумовлене формулою (5.54), при Fo → 0 прямує до нуля. В даному випадку дотичне напруження, маючи в початковий момент часу нульове значення, зі збільшенням часу зростає, приймаючи при деякому Fo = Fo * максимальне значення. При подальшому зростанні часу зменшується і при

Отримані результати стосовно до вирішення рівняння (5.54) дозволяють зробити наступні висновки: дотичне напруження на стінці не може перевищити деякою максимальної для даних конкретних умов (що визначаються фізичними властивостями середовища) величини; застосування формули (5.54) дозволяє уникнути нескінченних значень дотичних напружень.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >