Динамічний прикордонний шар

При обтіканні плоскої поверхні потоком рідини поблизу стінки відбувається утворення ламінарного динамічного прикордонного шару (рис. 5.20). У межах цього шару в результаті дії сил в'язкісно тертя швидкість змінюється від 0 на стінці до швидкості незбуреного потоку υ на зовнішній границі прикордонного шару. Перебіг рідини в динамічному прикордонному шарі на невеликих відстанях від кромки пластини є ламінарним. Однак на деякій відстані відбувається зрив ламінарного прикордонного шару, і перебіг приймає турбулентний характер. У цьому випадку в межах турбулентного прикордонного шару відбувається інтенсивне перемішування рідини. У той же час поблизу поверхні зберігається тонкий в'язкий подслой δл, в межах якого протягом рідини ламинарное.

Схема ламінарного і турбулентного прикордонних шарів

Рис. 5.20. Схема ламінарного і турбулентного прикордонних шарів

Наближені формули для товщин ламінарного і турбулентного прикордонних шарів мають вигляд [22]

(5.82)

де - число Рейнольдса, в якому в якості характерного розміру прийнято відстань х.

Перехід до турбулентного режиму течії рідини в прикордонному шарі визначається критичним числом Рейнольдса, яке при поздовжньому обтіканні пластини приймається рівним.

Вперше теоретичний розрахунок розподілу швидкостей в ламінарному прикордонному шарі шляхом чисельного інтегрування системи диференціальних рівнянь прикордонного шару був виконаний Г. Блазіуса в 1908 р Зокрема, розрахунки показали, що ставлення швидкостей залежить лише від однієї змінної (рис. 5.21). Аналізуючи цю залежність, можна укласти, що вже при значенні. Це значення визначає відстань, прийняте за товщину ламінарного прикордонного шару. Звідси виходить перша формула в співвідношеннях (5.82).

Дотичне напруження тертя в ламінарному прикордонному шарі визначається за формулою

Формула для середнього значення дотичного напруження на відрізку має вигляд

З ніс випливає, що дотичне напруження в ламінарному прикордонному шарі зменшується зі збільшенням l.

На основі узагальнення експериментальних даних отримана формула для визначення швидкостей в межах турбулентного прикордонного шару

У межах товщини вузького підшару розподіл швидкості стає практично лінійним.

Криві залежностей безрозмірних швидкостей від безрозмірною координати для ламінарного і турбулентного прикордонних шарів дано на рис. 5.22.

Узагальнення експериментальних даних приводить до формули для визначення дотичних напружень в турбулентному прикордонному шарі [15]

Середня величина дотичних напружень на відрізку буде

Розподіл швидкості в ламінарному прикордонному шарі

Рис. 5.21. Розподіл швидкості в ламінарному прикордонному шарі

Розподіл швидкості в ламінарному (1) і турбулентному (2) прикордонних шарах

Рис. 5.22. Розподіл швидкості в ламінарному (1) і турбулентному (2) прикордонних шарах

З останньої формули випливає, що дотичне напруження при турбулентному прикордонному шарі зменшується в меншій мірі, ніж при ламінарному.

Аналітичні рішення рівнянь динамічного прикордонного шару

Таким чином, при обтіканні тіла потоком рідини поблизу стінки утворюються динамічний ламінарний і турбулентний прикордонні шари (див. Рис. 5.20-5.22), які представляють собою кордону відповідних фронтів обурення, що відокремлюють обурений потік від незбуреного.

Диференціальні рівняння динамічного прикордонного шару (рівняння Прандтля) виводяться з рівнянь руху (Нав'є - Стокса) і рівняння суцільності, які з урахуванням ряду припущень мають вигляд 110, 221

(5.83)

(5.84)

де - кінематична в'язкість рідини; - складові швидкості по відповідним координатним осям; х, у - координати.

Граничні умови для рівнянь (5.83) і (5.84) будуть

(5.85)

(5.86)

(5.87)

(5.88)

де - товщина динамічного прикордонного шару (див. рис. 5.20); υ - швидкість незбуреного потоку уздовж осі х.

Гранична умова (5.87) характеризує плавність сполучення профілів швидкостей на зовнішній границі прикордонного шару. Гранична умова (5.88) виходить з диференціального рівняння (5.83) при у = 0, де Отже, дотримання умови (5.88) є виконанням рівняння (5.83) у точці у = 0. Співвідношення (5.88) є додатковим граничним умовою в задачі (5.83) - (5.88).

Завдання (5.83) - (5.88) є нелінійною. Точні аналітичні рішення її не отримані - отримані рішення лише шляхом чисельного інтегрування вихідних диференціальних рівнянь (5.83), (5.84) [22].

Знайдемо наближене аналітичне рішення задачі (5.83) - (5.88). Для цього вимагатимемо, щоб шукане рішення задовольняється не вихідним рівнянням (5.83), (5.84), а осредненному в межах товщини динамічного шару, тобто визначимо інтеграли від даних рівнянь по змінній у в межах від у = 0, до:

(5.89)

(5.90)

Інтеграл у правій частині співвідношення (5.89) з урахуванням граничної умови (5.87) приводиться до вигляду

(5.91)

Запишемо закон Ньютона для дотичного напруження в рідині, прилеглої до стінки:

(5.92)

Співвідношення (5.92) можна записати у вигляді

(5.93)

Підставляючи співвідношення (5.93) в рівність (5.91), знаходимо

Виконуючи інтегрування частинами в другому члені лівій частині рівняння (5.89), одержуємо

З урахуванням граничної умови (5.86) і рівняння нерозривності (5.84) останнє співвідношення приводиться до вигляду

(5.94)

Підставляючи співвідношення (5.90) у рівняння (5.94), знаходимо

(5.95)

Підставляючи рівності (5.93), (5.95) у рівняння (5.89), з урахуванням (5 .87) отримуємо

(5.96)

Співвідношення (5.96) приводиться до відомого інтегрального рівняння для гідродинамічного прикордонного шару, вперше отриманого Карманом в 1921 р .:

(5.97)

Враховуючи співвідношення (5.92), а також той факт, що інтеграли в лівій частині залежать лише від однієї змінної х, співвідношення (5.97) можна представити у вигляді

(5.98)

Суть використання інтегрального рівняння (5.98) полягає в тому, що при отриманні рішення задачі (5.83) - (5.88) потрібне виконання НЕ вихідних диференціальних рівнянь в приватних похідних (5.83), (5.84), а деяких осереднених по товщині динамічного прикордонного шару, які в кінцевому підсумку зводяться до одного інтегрального рівняння виду (5.98). Зрозуміло, подібне осреднение знижує точність рішення вихідних рівнянь (5.83), (5.84). Однак, як буде показано нижче, застосування додаткових граничних умов дозволяє знайти таке наближене аналітичне рішення, яке в залежності від числа наближень задовольняє рівнянням (5.83), (5.84) практично із заданим ступенем точності.

Рішення інтегрального рівняння (5.98) з граничними умовами (5.85) - (5.88) приймемо у вигляді алгебраїчного полінома

(5.99)

де - невідомі коефіцієнти, що визначаються з граничних умов (5.85) - (5.88).

Підставляючи розкладання (5.99), обмежуючись чотирма членами ряду, в граничні умови (5.85) - (5.88), відносно отримуємо систему чотирьох алгебраїчних лінійних рівнянь. Її рішення -

(5.100)

Підставляючи рівності (5.100) у формулу (5.99), знаходимо

(5.101)

Підставляючи вираз (5.101) в інтегральне рівняння (5.98), відносно невідомої функції δ (х) матимемо звичайне диференціальне рівняння

(5.102)

Інтегруючи рівняння (5.102), при початковому умови знаходимо

(5.103)

де

Співвідношення (5.101), (5.103) представляють рішення задачі (5.83) - (5.88) у першому наближенні. Безпосередньою підстановкою можна переконатися, що співвідношення (5.101) точно задовольняє граничним умовам (5.85) - (5.88) і інтегрального рівняння (5.98). Рівняння (5.83), (5.84), як це випливає з рівнянь (5.89), (5.90), в даному випадку задовольняються лише в середньому.

Співвідношення (5.103) представимо наступним чином:

(5.104)

Зі співвідношення (5.104) випливає, що умова, що лежить в основі всієї теорії прикордонного шару, виконується при досить великих числах Рейнольдса. Отже, теорія прикордонного шару є теорією руху реальної рідини при великих значеннях числа Рейнольдса.

Результати розрахунків безрозмірною швидкості за формулою (5.101) в порівнянні з точним рішенням рівнянь (5.83), (5.84) (чисельне інтегрування) [22] наведено на рис. 5.23, 5.24. Аналіз отриманих результатів дозволяє зробити висновок, що в діапазоні безрозмірною змінної () максимальне розбіжність складає 3%, в інтервалі досягає вже 15%, а при рішення (5.101) практично непридатне для використання. Таким чином, рішення в першому наближенні найменш точним виявляється поблизу кордону динамічного прикордонного шару.

Розподіл безрозмірних швидкостей залежно від безрозмірною координати

Рис. 5.23. Розподіл безрозмірних швидкостей залежно від безрозмірною координати:

1, 2, 3, 4 - перше, друге, третє і четверте наближення; 5 - точне рішення [22]

Графіки розподілу Ізотов в динамічному прикордонному шарі

Рис. 5.24. Графіки розподілу Ізотов в динамічному прикордонному шарі;

З огляду на те що рішення задачі про розподіл швидкості в динамічному прикордонному шарі виду (5.101) буде використано далі при вирішенні задачі для теплового прикордонного шару, така розбіжність отриманих результатів з точним рішенням може призвести до ще більшої неточності у визначенні розподілу температури усередині теплового шару. Питання точності рішення динамічної задачі актуальне ще й тому, що при вирішенні задачі для теплового прикордонного шару вихідне рівняння енергії також осредняются і приводиться до інтегрального рівняння (інтегралу теплового балансу). До того ж слід врахувати ще й той факт, що при отриманні вихідних диференціальних рівнянь для динамічного прикордонного шару виду (5.83), (5.84) були прийняті допущення, що дозволили максимально спростити математичну постановку задачі. У зв'язку з цим проблема точності рішення вихідних рівнянь (5.83), (5.84) є досить актуальною. Важливість отримання якомога більш точних рішень цих рівнянь полягає ще в тому, що на основі цих рішень виводяться широко використовуються в теорії конвективного теплообміну формули для визначення коефіцієнтів тепловіддачі і дотичних напружень.

Співвідношення (5.101) завдяки поліноміальної залежності швидкості від координати у дозволяє побудувати лінії Ізотов (однакових швидкостей) в межах товщини динамічного прикордонного шару в координатах у, х (див. Рис. 5.24). Ставлячи постійні значення безрозмірною швидкості, для різних значень координати х знаходимо такі г /, які задовольняють співвідношенню (5.101).

На основі графіків рис. 5.24 по співвідношенню визначаються швидкості переміщення Ізотов по координаті у залежно від координати х (рис. 5.25). Аналіз розподілу Ізотов дозволяє зробити висновок, що всі вони () виникають на поверхні стінки в точці х = 0, у = 0, маючи при цьому нескінченно великі початкові швидкості. Потім у міру просування Ізотов по координаті у залежно від координати х їх швидкості істотно зменшуються з подальшою стабілізацією зміни із законом, близькому до лінійного. Ізотахіі нульової швидкості збігається з віссю х і має швидкість переміщення, рівну нулю. Ізотахіі одиничної швидкості збігається з лінією динамічного прикордонного шару і має максимальну швидкість переміщення. Відзначимо, що найбільший градієнт швидкості мають ізотахіі малого потенціалу на відносно невеликій відстані по координаті х.

Для підвищення точності рішення задачі (5.83) - (5.88) необхідно збільшувати ступінь полінома (5.99). Для визначення знову виникаючих при цьому невідомих коефіцієнтів будемо залучати додаткові граничні умови. Принцип їх знаходження полягає в наступному. Для отримання першого з них рівняння (5.83) застосовується в точці у = 0. Саме таким шляхом було отримано додаткове гранична умова (5.88). Для отримання другого додаткового граничного умови застосуємо рівняння (5.83) у точці:

(5.105)

Графіки зміни швидкостей руху Ізотов W = Δу / Δх по координаті у залежно від координати х

Рис. 5.25. Графіки зміни швидкостей руху Ізотов W = Δу / Δх по координаті у залежно від координати х

Продифференцируем гранична умова (5.86) по змінній х. Так як з умови (5.86) потрібно знаходити значення в точці, то у є функцією х і, отже, буде складною функцією. Тоді за правилом визначення похідної від складної функції матимемо

Останнє співвідношення з урахуванням граничної умови (5.87) набуде вигляду

(5.106)

Рівняння (5.105) з урахуванням співвідношень (5.87) і (5.106) буде

(5.107)

Співвідношення (5.107) представляє друге додаткове гранична умова, з якого випливає, що підпорядкування рішення виду (5.183) цій умові рівносильно виконання рівняння (5.83) у всіх точках

Для отримання подальших додаткових граничних умов необхідно диференціювати (багаторазово) рівняння (5.83) по змінній у, а граничні умови (основні і додаткові) - по змінної х. Порівнюючи утворюються при цьому співвідношення, можна отримати яке завгодно кількість додаткових граничних умов, необхідних для отримання якомога більш точних аналітичних рішень рівнянь (5.83), (5.84). Наприклад, для отримання третього додаткового граничного умови продифференцируем рівняння (5.83) по змінній у і запишемо отримане співвідношення для точки:

(5.108)

Співвідношення (5.108) з урахуванням умов (5.86), (5.87), (5.107) прийме вигляд

(5.109)

Продифференцируем гранична умова (5.87) але змінної х, враховуючи, що - складна функція:

Останнє співвідношення з урахуванням умови (5.107) прийме вигляд

(5.110)

Порівнюючи співвідношення (5.109) і (5.110), одержуємо третій додаткове гранична умова

(5.111)

За фізичним змістом дане гранична умова означає виконання на кордоні динамічного прикордонного шару співвідношення, отриманого після визначення першої похідної по змінній у від рівняння (5.83).

Для отримання четвертого додаткового граничного умови продифференцируем рівняння (5.83) по змінній у і запишемо отримане співвідношення для точки у = 0:

(5.112)

З урахуванням рівняння нерозривності (5.84) і граничної умови (5.85) співвідношення (5.112) приводиться до вигляду

(5.113)

Співвідношення (5.113) являє четверте додаткове гранична умова.

Для отримання наступних двох додаткових граничних умов необхідно продифференцировать рівняння (5.83) двічі по змінній у і записати отримані співвідношення для точок і. Порівнюючи отримані співвідношення з співвідношеннями, знайденими за допомогою диференціювання граничних умов (5.88) і (5.107) по змінній х, знаходимо наступні два додаткові граничні умови:

(5.114)

Аналогічно можна отримати яке завгодно кількість додаткових граничних умов.

Фізичний сенс додаткових граничних умов полягає у виконанні вихідного диференціального рівняння (5.83) і виразів, отриманих після визначення похідних різного ступеня від нього, в точках у = 0 і у = δ (х) (на лінії динамічного прикордонного шару - фронті гідравлічного обурення). З огляду на те що переміщення фронту гідравлічного обурення охоплює весь діапазон зміни змінної у, отже, для всіх значень змінної х, яким відповідають значення змінної у, позначають лінію динамічного прикордонного шару, рівняння (5.83) виконується точно. Таким чином, завдяки використанню додаткових граничних умов можна істотно підвищити точність виконання вихідного диференціального рівняння, незважаючи на те що функція δ (х) визначається з інтегрального рівняння (5.98), яке в будь-якому наближенні виконується точно. При цьому точність виконання рівняння (5.83) буде залежати від числа додаткових граничних умов - числа наближень (числа членів ряду (5.99)).

Для отримання рішення задачі (5.83) - (5.88) у другому наближенні підставимо співвідношення (5.99), обмежуючись шістьма членами ряду, в основні (5.85) - (5.87) і додаткові (5.88), (5.107), (5.111) граничні умови. Щодо невідомих коефіцієнтів 8), k = 0,1, ..., 5, матимемо систему з шести алгебраїчних лінійних рівнянь. Підставляючи знайдені з рішення цієї системи коефіцієнти а k (δ) у співвідношення (5.99), одержуємо

Підставляючи вираз (5.115) в інтегральне рівняння

(5.98), відносно невідомої функції δ (х) матимемо звичайне диференціальне рівняння виду

(5.115)

(5.116)

Інтегруючи рівняння (5.116), при початковому умови знаходимо

(5.117)

Співвідношення (5.115), (5.117) представляють рішення задачі (5.83) - (5.88) у другому наближенні. Результати розрахунків за формулою (5.115) у порівнянні з першим наближенням і точним рішенням [22] дано на рис. 5.23. Їх аналіз дозволяє зробити висновок, що максимальне розбіжність отриманого рішення з точним становить близько 2%. Важливим є той факт, що відбулося значне підвищення точності на ділянках координати г /, розташованих поблизу кордону прикордонного шару ().

Для отримання рішення в третьому наближенні були використані додаткові граничні умови

(5.118)

Граничні умови (5.85) - (5.88), (5.107), (5.111), (5.114), (5.118) дозволяють визначити вже дев'ять невідомих коефіцієнтів, ряду (5.99). Підставляючи співвідношення (5.99) в перелічені граничні умови, щодо отримаємо систему дев'яти алгебраїчних лінійних рівнянь. З урахуванням знайдених значень коефіцієнтів співвідношення (5.99) приймає вигляд

(5.119)

Підставляючи співвідношення (5.119) в інтегральне рівняння (5.98), відносно невідомої функції δ (x) отримуємо звичайне диференціальне рівняння виду

(5.120)

Поділяючи змінні в рівнянні (5.120) і інтегруючи, при початковому умови отримуємо

(5.121)

Співвідношення (5.119), (5.121) представляють рішення задачі (5.83) - (5.88) у третьому наближенні. Результати розрахунків за формулою (5.119) в порівнянні з точним рішенням тисячі двісті двадцять одна дано на рис. 5.23. Їх аналіз дозволяє зробити висновок, що безрозмірні швидкості, отримані за формулою (5.119), на більшій частині зміни безрозмірною координати () практично збігаються з точними їх значеннями, і лише на ділянці максимальне розбіжність складає близько 1%.

Знайдемо рішення задачі (5.83) - (5.88) в четвертому наближенні. Додаткові граничні умови в даному випадку мають вигляд

Відзначимо, що в кожному наближенні використовуються три додаткових граничних умови; одна умова задається при у = 0, а два інших - при у = δ (х). Використання меншої кількості додаткових граничних умов не призводить до помітного підвищення точності рішення в даному наближенні.

Підставляючи співвідношення (5.99) в усі основні і додаткові граничні умови, щодо невідомих коефіцієнтів a k (δ), k = 0, 1, ..., 11, матимемо систему з дванадцяти алгебраїчних лінійних рівнянь. Після визначення a k (δ) співвідношення (5.99) набуде вигляду

(5.122)

Підставляючи співвідношення (5.122) у рівняння (5.98), відносно δ (х) отримуємо звичайне диференціальне рівняння

(5.123)

Відзначимо, що звичайні диференціальні рівняння щодо δ (х) в будь-якому наближенні відрізняються один від одного лише числовим коефіцієнтом (див. Рівняння (5.104), (5.116), (5.120), (5.123)), що значно спрощує процес отримання їх рішень.

Інтегруючи рівняння (5.123), при початковому умови δ (0) = 0 знаходимо

(5.124)

Співвідношення (5.122), (5.124) представляють рішення задачі (5.83) - (5.88) в четвертому наближенні. Результати розрахунків безрозмірних швидкостей за формулою (5.122) (табл. 5.1) показують, що розбіжність з точним рішенням (див. Табл. 7.1 на с. 131 з [22]) не перевищує 0,01%. Порівняння результатів розрахунків безрозмірних швидкостей в першому і четвертому наближеннях дано на рис. 5.26.

Таблиця 5.1

Результати розрахунків безрозмірних швидкостей

η

1

2

3

4

5

6

7

υx / υ - за формулою (5.122)

0,3312

0,6312

0,8444

0,9539

0,9918

0,9994

0,99999

υx / υ - точне

Розв'язання

0,3298

0,6298

0,8461

0,9555

0,9916

0,9989

0,99992

За відомою товщині прикордонного шару можна знайти формулу для дотичного напруження тертя на поверхні пластини і таким чином оцінити опір, який чиниться твердою поверхнею рухомої рідини при ламінарному режимі. Підставляючи співвідношення (5.122) у формулу закону Ньютона для дотичного напруження, знаходимо

Після підстановки в останнє співвідношення формули для товщини динамічного прикордонного шару (5.124) отримуємо

Розподіл безрозмірних швидкостей υx / υ в динамічному прикордонному шарі

Рис. 5.26. Розподіл безрозмірних швидкостей υ x / υ в динамічному прикордонному шарі:

  • 1 - за формулою (5.101) (перше наближення);
  • 2 - за формулою (5.122) (четверте наближення)

Відмінність коефіцієнта 0,331 від точного його значення 0,332 [22] становить 0,1%. Відзначимо, що в першому наближенні цей коефіцієнт дорівнює 0,323 (відмінність від точного близько 3%).

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >