Рівномірний рух рідини

Рівномірним потоком рідини називають такий потік, в якому всі частинки рухаються рівномірно і прямолінійно. У такому потоці всі живі перетину будуть плоскими і розподілу швидкостей по перетинах однаковими, тобто (рис. 6.4).

Профілі швидкості при рівномірному русі рідини

Рис. 6.4. Профілі швидкості при рівномірному русі рідини

У рівномірному потоці

Так як рівномірний рух є граничний випадок плавноізменяющегося (див. Параграф 4.13), то, отже, тиск в живих перетинах потоку при рівномірному русі змінюватиметься за гидростатическому законом, тобто

Питома кінетична енергія при рівномірному русі

так як і, тобто питома кінетична енергія у всіх живих перетинах потоку однакова. Отже, уздовж рівномірного потоку зменшується лише потенційна енергія, що витрачається на втрати.

Так як всі частинки рідини в даному перетині мають однаковими запасами питомої потенційної енергії, то втрата енергії на будь-якої лінії струму між двома перетинами одна і та ж. Звідси випливає важливий висновок, що в рівномірному потоці гідравлічний ухил

т. е. не залежить від розташування частинки від осі потоку.

Проведемо дослідження рівномірного потоку з метою виведення основних рівнянь, що характеризують його. При рівномірному русі середні швидкості у всіх поперечних перерізах однакові, місцеві опори відсутні, і існує лише опір тертя, що виявляється по довжині трубопроводу і викликає відповідні втрати напору.

Виведемо спочатку рівняння динамічної рівноваги. Для цього розглянемо рівномірний потік рідини в циліндричній трубі (рис. 6.5).

Схема руху рідини до висновку рівняння динамічної рівноваги

Рис. 6.5. Схема руху рідини до висновку рівняння динамічної рівноваги

Виділимо в потоці відсік довжиною l з площею поперечного перерізу зі. Контур, що обмежує майданчик, позначимо через ("хі"). Його зазвичай називають змоченим периметром.

Контур виберемо концентрично по відношенню до стінок труби.

На виділений відсік діють сили:

  • - Тяжкості;
  • - Гідродинамічного тиску;, де p 1 і p 2 - тиску у відповідних перетинах рідини (Оскільки в рівномірному потоці гідромеханічні тиску розподіляються в перетині по лінійному закону, то в цих формулах під p 1 і р 2 слід розуміти тиску, діючі в центрі ваги майданчиків ω1 і ω2);
  • - Тертя, де - бокова поверхня виділеного відсіку.

Складемо рівняння руху на напрямку l. Так як сили інерції в рівномірному потоці відсутні, отримаємо

або

Так як, то

Поділивши обидві частини рівняння на і і враховуючи, що, знаходимо

Позначивши, де R - гідравлічний радіус, матимемо

(6.1)

Співвідношення (6.1) являє рівняння динамічної рівноваги рівномірного потоку.

Виведемо рівняння енергії рівномірного потоку. Рівняння Бернуллі для потоку має вигляд

У рівномірному потоці і, отже,

Тоді

(6.2)

Об'єднуючи рівняння (6.1) і (6.2), отримаємо загальний вираз для втрати напору по довжині потоку:

Останнє рівняння називають основним рівнянням рівномірного потоку. Цьому рівнянню можна додати трохи інший вигляд:

Звідси

,

або

,

де - гідравлічний ухил потоку. Останні два співвідношення також представляють основне рівняння рівномірного потоку.

Для дотичного напруження на стінці це рівняння приймає вигляд

або

Рівняння рівномірного потоку показує, що напруга сили тертя, віднесене до питомої ваги рідини, дорівнює добутку гідравлічного радіуса на гідравлічний ухил.

Ламінарний рух рідини

Визначимо основні закономірності ламінарного потоку при рівномірному русі в круглих трубах. При цьому будемо розглядати ділянку стабілізованого течії, тобто ділянку, на якій профіль швидкості ламінарного потоку повністю сформувався.

Раніше (див. Параграф 6.1) було показано, що ламінарний плин має шаруватий характер без перемішування частинок. При цьому мають місце тільки напрямку потоку, паралельні осі труби, при повній відсутності поперечних рухів рідини. Швидкість в шарі, безпосередньо стикається зі стінкою, внаслідок прилипання рідини до стінки (через в'язкості рідини) дорівнює нулю. Максимального значення швидкість досягає в шарі, що рухається по осі труби.

Для прийнятої схеми руху необхідно встановити закон розподілу швидкостей в поперечному перерізі потоку, отримати розрахункові залежності для визначення витрати рідини і втрат напору на тертя по довжині потоку.

Розглянемо ламінарний рівномірний потік рідини в трубі круглого перетину (рис. 6.6).

Основне рівняння рівномірного потоку має вигляд

(6.3)

За законом Ньютона для внутрішнього тертя

(6.4)

Схема ламінарного рівномірного потоку

Рис. 6.6. Схема ламінарного рівномірного потоку

У трубі круглого перетину гідравлічний радіус відсіку потоку з геометричним радіусом r дорівнює. Оскільки при ламінарному режимі течії рідини в трубі вектори швидкості симетричні щодо поздовжньої осі, то за нормаль слід прийняти радіус відсіку потоку.

Тоді

Знак "мінус" узятий тому, що при збільшенні радіуса швидкість убуває.

Рівняння (6.3) і (6.4) приймуть вигляд

Прирівнюючи праві частини цих рівнянь, знаходимо

, Або

Інтегруючи, отримуємо (враховуючи, що в рівномірному потоці, тобто не залежить від r)

Постійна інтегрування З знаходиться з граничних умов: при (швидкість руху рідини на стінці дорівнює нулю). Тоді

Звідси

(6.5)

З отриманого рівняння очевидно, що швидкість в поперечному перерізі потоку змінюється за законом параболи (рис. 6.7).

Профіль швидкості і епюра дотичного напруження при ламінарному русі рідини

Рис. 6.7. Профіль швидкості і епюра дотичного напруження при ламінарному русі рідини

Максимальна швидкість має місце на осі труби при r = 0. Тоді з останнього рівняння випливає

Перетворюючи формулу (6.5):

і враховуючи формулу для, одержуємо

,

тобто розподіл безрозмірних швидкостей є лише функцією безрозмірною величини. Ця функція однакова у всіх випадках ламінарного руху будь-якої рідини всередині круглих труб. Отже, всі розглянуті течії подібні незалежно від числа Re. Такі явища називають автомодельного.

Отриману вище формулу для дотичного напруження

,

враховуючи, що, можна записати у вигляді

,

де

Звідси формула для приймає вигляд

З цієї формули випливає, що дотичне напруження є лінійною функцією поточного радіуса труби r. Максимальне значення т приймає на стінці труби, мінімальне () - в її центрі. Епюра дотичного напруження представлена на рис. 6.7.

Вивчення швидкостей окремих частинок рідини по довжині потоку показує, що на ділянці поблизу входу в трубопровід частинки рухаються нерівномірно. Частинки, розташовані поблизу осі потоку рухаються з прискоренням а частинки, що знаходяться біля стінки, - уповільнено. Тому епюри швидкостей в різних перетинах на цій ділянці трубопроводу будуть різними. На ділянці довжиною l н відбуватиметься формування профілю швидкості ламінарного потоку. Довжина вхідного ділянки l н, на якому закінчується формування потоку, називається довжиною початкової ділянки (рис. 6.8).

Схема формування профілю швидкості ламінарного потоку

Рис. 6.8. Схема формування профілю швидкості ламінарного потоку

Розглянемо формування ламінарного потоку в трубопроводі, вхід в який зроблений плавним. Рідина надходить у трубу з майже однаковою швидкістю по всьому перетину, і тільки на стінці швидкість рідини дорівнює нулю. У міру віддалення від входу товщина загальмовується шару рідини біля стінки збільшується. Але так як витрата рідини Q залишається одним і тим же, уповільнення шарів, розташованих біля стінки, призводить до збільшення швидкості шарів, розташованих ближче до осі труби. Сформованому рівномірному ізотермічного ламінарного потоку рідини в трубі відповідає параболічний закон розподілу швидкостей. Такий розподіл швидкостей теоретично настає лише на відстані від входу в трубу, рівному нескінченності. Але практично вже на кінцевих відстанях від входу розподіл швидкостей мало відрізняється від параболічного. Для ламінарного потоку можна прийняти l н = 0,28Re d.

Формування турбулентного потоку відбувається на довжині l н = (40 + 50) d.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >