Турбулентний рух рідини

Висновок закону опору Пуазейля міг бути зроблений виходячи з найзагальніших рівнянь руху в'язкої рідини - рівнянь Нав'є - Стокса. Цей закон, здавалося б, повинен бути вірний у всіх випадках руху в'язкої рідини в круглій трубі. Проте досвід показує, що він порушується при числі Re> 2320. В даному випадку мають місце інші закони опору.

Так як при Re = 2320 відбувається зміна ламінарного режиму на турбулентний, можна зробити висновок, що закономірності турбулентного руху відмінні від закономірностей ламінарного режиму.

Проблема турбулентності виникла в середині XIX ст. в результаті протиріччя між теоретичним (здавалося б, цілком строгим виводом закону опору в круглій трубі з рівняння Нав'є - Стокса) і емпіричним законом опору. Це протиріччя виходило далеко за межі помилок вимірів. Перший закон (Пуазейля) давав опір, пропорційне 1-го ступеня швидкості; другий закон (Шезі) приводив до квадрату швидкості.

Теоретичний аналіз турбулентного руху, що є, на перший погляд, абсолютно безладним, представляє великі труднощі. Однак, незважаючи на безладність руху окремих частинок в турбулентному потоці, в цілому мають місце свій строгий порядок, свої цілком певні закономірності, які будуть розглянуті нижче.

Розглядаючи турбулентний потік з використанням методу Ж. Л. Лагранжа, будемо спостерігати безперервне перемішування мас рідини. Розглядаючи цей же потік виходячи з основних положень методу Л. Ейлера, замість перемішування будемо спостерігати пульсації тиску і швидкості в даній точці. У кожній точці турбулентного потоку швидкість досить інтенсивно змінюється в часі як за величиною, так і за напрямком. Те ж саме відбувається і з напруженнями.

Таким чином, турбулентний рух є за самою своєю природою рухом типово несталим. Розглянемо турбулентний рух рідини в трубі при незмінних зовнішніх умов на кордоні. Досліди, проведені в подібних умовах, показують наступне. Характер зміни компоненти швидкості, спроектованої, наприклад, на вісь труби х, має вигляд, показаний на рис. 6.12.

Зміна швидкості в турбулентному потоці (t - час)

Рис. 6.12. Зміна швидкості в турбулентному потоці (t - час)

Зміна швидкості, як випливає з рис. 6.12, має вигляд випадкових відхилень. При цьому вельми важливо, що, незважаючи на гадану безладність зміни швидкості, середнє значення її за досить тривалий проміжок часу залишається постійним і не залежить від часу.

Те ж саме твердження буде справедливо і для середніх у часі значень нормальних і дотичних напружень. Середні в часі величини швидкостей або напружень в даній точці прийнято називати усередненими. Л сама операція отримання цих середніх величин називається осреднением.

Осереднення швидкостей і напруг

За осредненную швидкість в даній точці приймається така постійна за період осереднення Г швидкість, при якій через елементарну площадку за період Т проходить об'єм рідини, рівний істинному її об'єму, що проходить через за час Т, тобто

Звідси

Аналогічно

Осредненную в часі швидкість слід відрізняти від середньої швидкості по перетину

Записаним вище интегралам легко дати геометричну інтерпретацію. Дійсно, дорівнює площі, що лежить під кривою дійсної швидкості на ділянці часу довжиною Т в координатах. А це означає, що сума майданчиків на графіку, що виражає відхилення істинної швидкості від середньої, дорівнює нулю.

За осредненное напруга в даній точці приймається величина

де Т - час осереднення.

Аналогічно для дотичного напруження

Якщо вироблено осреднение швидкості, то дійсну (істинну) швидкість в даній точці можна представити як суму середньої швидкості і величини відхилення швидкості від середньої в даний момент, тобто

Величини отримали назви пульсаційних швидкостей. Очевидно,, тобто пульсаційної швидкістю називається різниця між істинною швидкістю в точці в даний момент і осредненной швидкістю в цій же точці.

Пульсаційні добавки напруг будуть визначатися аналогічним чином:

Зауважимо, що величина осредненной пульсаційної добавки завжди дорівнює нулю:

що наочно видно з графіка пульсацій (див. рис. 6.12).

Якщо вимірювати в деякій точці швидкості і тиску рідини, то при вимірюванні звичайними грубими засобами - пьезометров, трубкою повного напору і т. П. - Практично не будуть відзначатися пульсації. Швидкості і тиску будуть представлятися постійними в часі.

По суті, будуть вимірюватися осредненние в часі величини і. Крім того, очевидно, що осредненное турбулентний рух в даному випадку можна розглядати як усталене.

О. Рейнольдс запропонував розглядати не дійсне рух рідини, а осредненному-ідеалізоване. Цей осредненний потік в кращій мірі відповідає нашим досвідченим даними, належать, по суті, лише до середніх у часі величинам. Але тоді, як показав О. Рейнольдс, і диференціальні рівняння повинні містити в якості невідомих не істина змінні, а осредненние. Зокрема, О. Рейнольдс справив осреднение рівнянь Нав'є - Стокса, тобто ввів замість актуальних величин швидкостей і тисків їх осредненние значення.

При такому осреднении в рівняннях руху рідини з'являється 9 нових невідомих членів типу, тобто з'являються якісь нові сили (так як кожен член рівняння виражає силу).

Ідеалізація руху рідини привела до ідеалізації і силових співвідношень. При цьому замкнута система рівнянь Нав'є - Стокса виявилася розімкнутої. З'явилася необхідність зв'язати якимось чином пульсації і з усередненими величинами і і т. П. Цей зв'язок може бути отримана лише на підставі нових гіпотез про механізм руху рідини.

Так з'явилися гіпотези турбулентності Л. Прандтля, Т. Кармана, Д. І. Тейлора, А. А. Фрідмана та ін. Але жодна з цих гіпотез (за винятком гіпотези Фрідмана) не в змозі замкнути систему рівнянь. Вони лише зводять задачук відшукання дослідним шляхом будь-яких нових функцій і т. П. Взамін пульсацій і. Ці функції можуть бути легше визначені з досвіду, ніж пульсації.

Подібні теорії турбулентності названі напівемпіричні, так як частина величин в них знаходиться з досвіду. Гіпотеза ж Фрідмана хоча і замикає систему рівнянь, але зводить се до системи з 20 диференціальних рівнянь в приватних похідних вельми складного виду. Тому практично ця гіпотеза використана бути не може.

Найбільш прості випадки осереднених потоків і найбільш поширена напівемпірична теорія турбулентності Л. Прандтля будуть розглянуті в параграфі 6.11.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >