Логарифмічний закон розподілу швидкостей в круглій трубі

На рис. 6.17 дані епюри швидкості ламінарного (1) і турбулентного (2) потоків при однакових витратах в круглій циліндричній трубі. У ламінарному гидродинамическом прикордонному шарі турбулентного потоку () має місце лінійний закон зміни швидкості, а в турбулентному ядрі () - логарифмічний закон. У ламінарному потоці закон зміни швидкості параболічний.

Епюри швидкостей ламінарного і турбулентного потоків

Рис. 6.17. Епюри швидкостей ламінарного і турбулентного потоків

Виведемо закон розподілу швидкості в круглій трубі для турбулентного потоку поблизу стінки, за винятком ламінарного прикордонного шару (). При турбулентному русі інерційне дотичне напруження визначається але формулою (нехтуючи напругою від молекулярної в'язкості)

(6.14)

де l - довжина шляху перемішування при переході рідини з одного шару в інший.

Приймемо наступні допущення:

  • 1) дотичні напруження в зоні турбулентного ядра близькі до дотичним напруженням у стінки: (допущення Прандтля);
  • 2) довжина шляху перемішування пропорційна відстані від стінки:, де - коефіцієнт пропорційності, який визначається з досвіду.

З урахуванням прийнятих припущень формула (6.14) набуде вигляду

,

або

Відомо що

,

де - динамічна швидкість (див. параграф 6.9).

Тоді

Звідси

Інтегруючи, отримуємо

(6.15)

Отже, в області турбулентного потоку біля стінки швидкість змінюється за логарифмічною закону (крива 2 на рис. 6.17).

Досвідом встановлено, що при відповідному виборі постійної ця формула може бути поширена на все живе перетин труби, за винятком ламінарного шару, де швидкість змінюється за лінійним законом.

Так як формулу (6.15) можна поширити на все живе перетин труби, то визначимо постійну З з тієї умови, що при

Тоді

(6.16)

Віднімаючи з формули (6.16) вираз (6.15), знаходимо

Або, переходячи до десятковим логарифмам, маємо і, підставляючи (для гладких труб), одержуємо

(6.17)

Різниця u max- і називається дефіцитом швидкості, а вираз в лівій частині - відносним дефіцитом. Таким чином, відносний дефіцит швидкості є функцією тільки безрозмірного відстані

Встановимо співвідношення між середньою і максимальною швидкостями. Нехай при деякому значенні швидкість рідини дорівнює середній швидкості. Тоді можна записати

Внаслідок того що відносний дефіцит швидкості є завжди одна і та ж функція, то і середня ордината повинна перетинати криву

завжди в одній і тій же точці з абсцисою, тобто повинно бути

Отже,

(6.18)

Розрахунки і експеримент показують, що можна прийняти

(6.19)

Формули (6.17) і (6.19) дозволяють виробляти побудова епюр швидкостей в турбулентному ядрі потоку.

Знаючи знаходимо

,

де - гідравлічний ухил; - лінійні втрати напору.

З рівняння (6.19) знаходиться. За відомим і за формулою (6.17) знаходиться величина осредненной швидкості

Експериментальні дані для коефіцієнта гідравлічного опору. Досліди Нікурадзе і Зегжда

При дослідженні турбулентного руху рідини в трубах необхідно вирішувати два основних питання - визначення втрат напору і розподілу швидкостей по поперечному перерізі труби. Досліди показують, що обидві ці величини істотно змінюються в залежності від діаметра труби, в'язкості рідини, швидкості руху і шорсткості стінок труб.

Експериментальні дані для λ в широкому інтервалі чисел Re були отримані І. І. Нікурадзе в трубах і А. П. Зегжда - в прямокутних каналах зі штучною (пісочної) шорсткістю.

Середній діаметр фракції піску Δ приймався за міру абсолютної шорсткості (рис. 6.18). Труба називається гідравлічно гладкою, якщо середня висота виступів шорсткості Δ менше товщини ламінарної плівки. У цьому випадку шорсткість не впливає на рух. Якщо абсолютна шорсткість Δ більше товщини ламінарної плівки, то труба називається гідравлічно шорсткою. У цьому випадку шорсткість істотно впливає на рух рідини (рис. 6.19).

Схема до пояснення абсолютної шорсткості

Рис. 6.18. Схема до пояснення абсолютної шорсткості

Схеми гідравлічно гладкою (а) і гідравлічно шорсткою (б) труб

Рис. 6.19. Схеми гідравлічно гладкою (а) і гідравлічно шорсткою (б) труб

Таким чином, абсолютна шорсткість Д - це середня висота виступів шорсткості. Відносна шорсткість визначається величиною

де - радіус труби.

Величина, зворотна відносної шорсткості,

називається відносної гладкістю.

Результати дослідів представлені на графіках рис. 6.20. На графіках всю область чисел Рейнольдса можна розділити на п'ять характерних зон руху.

1. Зона ламінарного режиму (Re <2300, або lgRc <3,36). Тут всі досвідчені точки, незалежно від шорсткості стінок, лягають на пряму лінію I, описувану рівнянням Ж. Пуазейля

Отже, досвідчені дані дозволяють зробити висновок, що при ламінарному русі шорсткість стінок не робить впливу на опір (коефіцієнт тертя). Втрати напору тут пропорційні швидкості.

Графіки І. І. Нікурадзе і А. П. Зегжда

Рис. 6.20. Графіки І. І. Нікурадзе і А. П. Зегжда

Дійсно, підставляючи вираз для коефіцієнта тертя

у формулу Дарсі - Вейсбаха

отримуємо

де - середня швидкість;

  • 2. Перехідна зона. Тут ламінарний режим переходить в турбулентний (2300 ≤ Re ≤ 3000). Коефіцієнт λ зростає зі збільшенням числа Рейнольдса, залишаючись однаковим для різних шорсткостей.
  • 3. Зона гідравлічно гладких труб для турбулентного режиму. Для труб з високими значеннями відносної гладкості (r 0 / Δ> 500) досвідчені точки для чисел Рейнольдса (400 r 0 / Δ) розташовуються уздовж похилій прямій II. Ця пряма відома як пряма Блазіуса для гладких труб. На ній коефіцієнт тертя λ добре описується емпіричною формулою Блазіуса

Втрати напору визначають за формулою

  • 4. Зона шорсткуватих труб (r 0 / Δ <500), або так звана доквадратічная зона при турбулентному режимі (80 r 0 / А r 0 / А). Тут відхилення експериментальних точок від прямої II залежить від величини шорсткості (відносної гладкості). І це відхилення наступає тим раніше, чим менше відносна гладкість. При цьому коефіцієнт λ прагне деякому межі (різному для труб з різною шорсткістю), залишаючись потім постійним при збільшенні числа Re.
  • 5. Зона цілком шорсткуватих труб (r 0 / Δ = 15 і r 0 / Δ = 30). Гідравлічні втрати в цій області пропорційні квадрату швидкості (квадратичний закон опору). Для кривих r 0 / Δ = 15 і r 0 / Δ = 30 ламінарний плівка навіть при невеликих значеннях Re не перекриває виступів шорсткості, і ці криві зі збільшенням числа Re тільки перетинають лінію II для гладких труб. Отже, в даному випадку коефіцієнт λ абсолютно не підкоряється закону для гладких труб. Зі збільшенням числа Re він поступово зростає і при lgRe = 4,6 для першої кривої (r 0 / Δ = 15) або lgRe = 5,0 для другої кривої (r 0 / Δ = 30) стає практично незалежним від Re.

Коефіцієнт λ для цієї зони може бути визначений за формулою Шіфрінсона

де Δе - еквівалентна шорсткість (див. нижче).

Отриманими результатами можна дати наступне пояснення: до тих пір поки виступи шорсткості повністю занурені в ламінарний прикордонний шар (),

для величини гідравлічних опорів немає різниці між гладкими і шорсткими поверхнями стінок. Коефіцієнт λ тут залежить тільки від числа Рейнольдса і визначається як для гладких труб (1-3-я зони).

У випадку, коли виступи шорсткості виходять за межі прикордонного шару (), ламінарний плин порушується, і виступи шорсткості виявляються в області турбулентної течії рідини.

Зі збільшенням числа Рейнольдса товщина прикордонного шару зменшується, і в разі, коли величина Δ виявляється порівнянної з величиною, коефіцієнт λ залежить не тільки від числа Рейнольдса, але і від шорсткості стінок (4-я зона).

Якщо число Рейнольдса досить велика і А значно більше δл, то коефіцієнт λ залежить тільки від шорсткості і не залежить від числа Рейнольдса (5-я зона).

Досліди А. П. Зегжди для прямокутних каналів дозволили отримати графік, близьке до графіком І. І. Нікурадзе не тільки якісно, але і кількісно, якщо результати зіставляти при однакових гідравлічних радіусах.

Досліди, проведені в промислових трубопроводах з природною шорсткістю, показали, що оцінка тільки по висоті виступів шорсткості А недостатня, велику роль має також характер шорсткості: форма виступів, їх розташування і інш. Тому було введено поняття про еквівалентної шорсткості (), де параметр залежить від характеру шорсткості. Під еквівалентної шорсткістю розуміють таку зернисту шорсткість, при якій опір виявляється таким же, як і при дійсної шорсткості. Величина еквівалентної шорсткості вказується в гідравлічних довідниках в залежності від типу трубопроводу.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >