Моделі оцінки показників якості та надійності

У результаті вивчення даної глави студент повинен:

знати

• моделі функцій розподілів, загальну модель якості, моделі показників надійності;

вміти

• використовувати методи математичної статистики при побудові моделей;

володіти

• методами оцінки показників якості та надійності.

Моделі функцій розподілів, що використовуються в теорії надійності

Моделі функцій розподілів (ФР) використовуються в теорії надійності для опису розподілів характеристик відмов [2]. Під характеристиками відмов розуміються час появи відмов, швидкість зміни параметрів (характеристик) вироби та ін. Вони можуть бути представлені у вигляді множин (невпорядкованих, упорядкованих).

Розподіл Пуассона

Розподіл Пуассона відіграє важливу роль у теорії надійності, воно досить добре описує закономірність появи випадкових відмов у системах різного ступеня складності. Цей закон розподілу знайшов широке застосування при визначенні ймовірності появи і відновлення відмов.

Випадкова величина X розподілена по закону Пуассона у випадку, якщо ймовірність того, що ця величина прийме певне значення, виражається формулою

(4.1)

де λ - параметр розподілу (деяка позитивна величина); m! позначає факторіал числа т = 0, 1, 2, ..., е = 2,71828 - основа натурального логарифма.

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини X для закону Пуассона рівні параметру розподілу λ:

Приклад 4.1

У майстерню з обслуговування та ремонту телевізорів від населення надходять заявки з середньою щільністю 5 шт. за робочу зміну, тривалість якої становить 10 ч. У припущенні, що число заявок на будь-якому часовому відрізку розподілено за законом Пуассона, знайти ймовірність того, що за 2 год робочої зміни в майстерню надійдуть дві заявки.

Розв'язання

Середнє число заявок за 2 год одно λ = 2 • 5/10 = 1.

Застосувавши формулу (4.1), обчислимо ймовірність надходження двох заявок

Відповідь: 0,184.

Експоненціальне розподіл

Експонентний закон розподілу є, мабуть, найбільш відомим і вживаним на практиці (рис. 4.1). Його навіть називають основним законом надійності, оскільки часто використовують для прогнозування надійності в період нормальної експлуатації виробів, коли поступові відмови ще не проявилися і надійність характеризується раптовими відмовами. Ці відмови найчастіше бувають викликані несприятливим збігом тих чи інших обставин, і тому вони мають постійну інтенсивність. Експонентний закон в теорії надійності знайшов широке застосування ще й тому, що він простий для практичного використання. Більшість завдань, що вирішуються в теорії надійності з використанням експоненціального закону, виявляються простими для вирішення, в усякому разі простіше, ніж при використанні інших законів розподілу. Основна причина такої порівняльної простоти полягає в тому, що при експоненціальному законі ймовірність безвідмовної роботи залежить тільки від тривалості інтервалу часу і не залежить від часу попередньої роботи.

Графік розподілу щільності експоненціального розподілу

Рис. 4.1. Графік розподілу щільності експоненціального розподілу

Прикладів несприятливого поєднання умов роботи при експлуатації виробів безліч. Зокрема, для зубчастої передачі це може бути дією максимального навантаження на найбільш слабкий зуб при його зачепленні; для елементів електронної апаратури - перевищення допустимого струму або догляд температури за межі заданого температурного діапазону.

Щільність розподілу експоненціального закону описується співвідношенням

функція розподілу цього закону - співвідношенням

функція надійності визначається як

Математичне сподівання випадкової величини х

дисперсія випадкової величини х

Експоненціальне розподіл знаходить досить широке застосування в самих різних областях, в тому числі - в теорії масового обслуговування, що особливо актуально в наш час.

Воно описує розподіл наробітку на відмову складних виробів і систем, час безвідмовної роботи елементів.

Приклад 4.2

За результатами, отриманими при експлуатації генератора, встановлено, що напрацювання на відмову підпорядковується експоненціальним законом з параметром λ = 2 • 10-5 ч-1. Знайти ймовірність безвідмовної роботи цього генератора за час t = 1 00 ч. Визначити математичне сподівання напрацювання на відмову.

Розв'язання

Для визначення ймовірності безвідмовної роботи скористаємося формулою (4.1), відповідно до якої

Математичне сподівання напрацювання на відмову одно

Відповідь: 0,998; 5 • 104 ч.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >