Нормальний закон розподілу

Нормальний закон розподілу називають ще законом Гаусса. Цей закон відіграє важливу роль і найбільш часто використовується на практиці в порівнянні з іншими законами розподілу.

Основна особливість цього закону полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу. У теорії надійності його використовують для опису поступових відмов, коли розподіл часу безвідмовної роботи спочатку має низьку щільність, потім максимальну і далі щільність знижується.

Розподіл завжди підкоряється нормальному закону, якщо на зміну випадкової величини впливають багато, приблизно рівнозначні чинники. Нормальний закон розподілу описується щільністю ймовірності

де е = 2,71828 - основа натурального логарифма; π = 3,14159; т і σ - параметри розподілу, що визначаються за результатами випробувань.

Колоколообразная крива щільності розподілу наведена на рис. 4.2.

Криві щільності ймовірності (а) і функції надійності (б) для нормального розподілу

Рис. 4.2. Криві щільності ймовірності (а) і функції надійності (б) для нормального розподілу

Параметр т = М х являє собою (в межі, по теоремі Гливенко) середнє значення випадкової величини х, що оцінюється за формулою

Параметр σ - середнє квадратичне відхилення випадкової величини х, що оцінюється за формулою

Інтегральна функція розподілу має вигляд

Імовірність відмови Q (x) = F (x), ймовірність безвідмовної роботи R (x) = 1 - F (x).

Обчислення інтегралів замінюють використанням таблиць нормального розподілу, в яких М х = 0 і σ = 1 (див. Табл. П6.1 додатка 6). Для цього розподілу функція щільності ймовірності має одну змінну t і виражається залежністю

Величина t є центрованої (так як М t = 0) і нормованої (так як σt = 1). Функцію розподілу відповідно можна записати у вигляді

(4.2)

З рівняння (4.2) випливає, що F 0 (t) + F 0 (-t) = 1, або F 0 (-t) = 1- F 0 (t).

При використанні табл. П6.1 додатка 6 у формулу (4.2) замість t слід підставити значення

при цьому t називають квантиль нормованого нормального розподілу (у літературі часто позначають і р).

Щільність розподілу та ймовірність відмови відповідно рівні f (x) = f 0 (t) / σ і Q (x) = F 0 (t). Тоді ймовірність безвідмовної роботи R (x) = 1 - f 0 (t), де f 0 (t) і F 0 (t) визначають за таблицями [1].[1]

У роботах по надійності часто замість інтегральної функції розподілу F 0 (t) використовують функцію Лапласа

Очевидно, що

Імовірності відмови і безвідмовної роботи, виражені через функцію Лапласа:

Ймовірність влучення випадкової величини X в заданий інтерват значень від а до β обчислюють за формулою

(4.3)

Приклад 4.3

Визначити ймовірність безвідмовної роботи протягом t = 2 • 104 ч ротора механічного пристрою, якщо ресурс по зносу підпорядковується нормальному закону розподілу з параметрами М, - 4 • 104 год; σ = 104 ч.

Розв'язання

Знаходимо квантиль:

Використовуючи дані табл. П6.1 додатки 6, визначаємо, що R (t) = = 0,0228.

Відповідь: R (t) = 0,0228.

Приклад 4.4

Нехай випадкова величина X являє собою межа плинності кремнію. Досвідчені дані показують, що межа плинності має нормальний розподіл з параметрами М, = 650 МПа, σ = 30 МПа. Знайти ймовірність того, що злиток кремнію має межа плинності в інтервалі 600-670 МПа.

Розв'язання

Для визначення шуканої ймовірності скористаємося формулою (4.3):

Відповідь: 0,697.

Приклад 4.5

Випадкова величина X розподілена за нормальним законом і являє собою помилку вимірювання датчика тиску. При вимірюванні датчик має систематичну помилку в бік завищення вимірюваного значення тиску на 0,5 МПа, середнє квадратичне відхилення помилки виміру становить 0,2 МПа.

Знайти ймовірність того, що відхилення вимірюваного значення від істинного не перевищить за абсолютною величиною 0,7 МПа.

Розв'язання

За формулою (4.3) з використанням даних табл. П6.1 додатка 6 визначимо

Відповідь: Р (Х) = 0,77.

  • [1] Див. додаток 6 і роботу: Оуен Д. Б. Збірник статистичних таблиць. М .: Обчислювальний центр ΛΗ СРСР, 1973.
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >