Логарифмічно нормальний розподіл

Логарифмічно нормальна функція розподілу знайшла широке застосування при аналізі надійності об'єктів техніки, біології, економіки та ін. Наприклад, функцію успішно застосовують для опису наробітку до відмови підшипників, електронних приладів та інших виробів.

Невід'ємні випадкові значення деякого параметра розподілені логарифмічно нормально, якщо його логарифм розподілений нормально. Щільність розподілу для різних значень σ наведена на рис. 4.3.

Щільність логарифмічно нормального розподілу

Рис. 4.3. Щільність логарифмічно нормального розподілу

Щільність розподілу описується залежністю

де М х і σ - параметри, які оцінюються за результатами п випробувань вщерть:

(4.4)

Для логарифмічно нормального закону розподілу функція надійності

(4.5)

Імовірність безвідмовної роботи можна визначити за таблицями для нормального розподілу (див. Табл. П6.1 додатка 6) залежно від значення квантиля

Математичне сподівання наробітку до відмови

Середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації відповідно будуть рівні

і

Якщо v x 0,3, то вважають, що ν x = σ, при цьому помилка становить не більше 1%.

Часто застосовують запис залежностей для логарифмічно нормального закону розподілу в десяткових логарифмах. Відповідно до цього закону щільність розподілу

Оцінки параметрів lg x 0 і σ визначають за результатами випробувань:

Математичне сподівання М х, середнє квадратичне відхилення σ x і коефіцієнт варіації ν x наробітку до відмови відповідно рівні

Приклад 4.6

Визначити ймовірність безвідмовної роботи редуктора протягом t = 103 год, якщо ресурс розподілений логарифмічно нормально з параметрами lg t 0 = 3,6; σ = 0,3.

Розв'язання

Знайдемо значення квантиля і визначимо ймовірність безвідмовної роботи:

Відповідь: R (t) = 0,0228.

Розподіл Вейбулла

Функція розподілу Вейбулла являє собою двохпараметричній розподіл. Описуваний нею закон є універсальним, так як при відповідних значеннях параметрів перетворюється на нормальне, експоненціальне та інші види розподілів. Автор даного закону розподілу В. Вейбулль використовував його при описі та аналізі експериментально спостерігалися разбросов втомної міцності сталі, меж її пружності. Закон Вейбулла задовільно описує наробіток до відмови підшипників, елементів електронної апаратури, його використовують для оцінки надійності деталей і вузлів машин, у тому числі автомобілів, а також для оцінки надійності машин у процесі їх підробітки. Щільність розподілу описується залежністю

де α - параметр форми кривої розподілу; λ - параметр масштабу кривої розподілу.

Графік функції щільності розподілу наведено на рис. 4.4.

Функція щільності розподілу Вейбулла для λ = 1

Рис. 4.4. Функція щільності розподілу Вейбулла для λ = 1

Функція розподілу Вейбулла

Функція надійності для цього закону розподілу

Математичне сподівання випадкової величини х одно

де Г (x) - гамма-функція.

Для безперервних значень х

Для цілочисельних значень х гамма-функцію обчислюють за формулою

також вірні формули

Дисперсія випадкової величини дорівнює

Широке застосування при аналізі і розрахунках надійності виробів закону розподілу Вейбулла пояснюється тим, що цей закон, узагальнюючи експоненціальне розподіл, містить додатковий параметр α.

Підбираючи потрібним чином параметри а і λ, можна отримати кращу відповідність розрахункових значень досвідченим даними в порівнянні з експоненціальним законом, який є однопараметричним (параметр λ).

Так, для виробів, у яких є приховані дефекти, але які тривалий час не використовуються (отже, повільніше старіють), небезпека відмови має найбільше значення в початковий період, а потім швидко падає. Функція надійності для такого виробу добре описується законом Вейбулла з параметром α <1.

Навпаки, якщо виріб добре контролюється при виготовленні і майже не має прихованих дефектів, але піддається швидкому старінню, то функція надійності описується законом Вейбулла з параметром α> 1. При α = 3,3 розподіл Вейбулла близько до нормального.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >