Методика побудови оцінок функцій розподілу

Зміст методики зручно викласти у вигляді алгоритму (послідовності дій), який складається з дій (кроків), докладно описаних нижче. Алгоритм реалізується згідно з методикою. В описі методики використані наступні позначення: - нормовані параметри розподілу, відповідні нормованим значенням математичного очікування і середнього квадратичного відхилення σ '; - ненормовані параметри розподілу, відповідні - параметри розподілу, відповідні

Крок 1. Перетворення вихідного інтервалу [а; b], в якому можлива реалізація випадкової величини X таким чином, щоб нижня межа інтервата збіглася з початком координат (при цьому верхня межа інтервалу прийме значення). Відповідно перетворюються дані вихідної вибірки

Крок 2. Оцінюються значення двох перших початкових моментів розподілу

і за допомогою виразу оцінюється величина середнього квадратичного відхилення розподілу.

Крок 3. Визначається значення першого нормованого початкового моменту

Крок 4. Якщо дотримується умова, то нормовані параметри розподілу визначаються за допомогою співвідношень

і здійснюється перехід до кроку '6. Якщо зазначена умова не дотримується, то переходять до кроку 5.

Крок 5. Обчислюються значення нормованих параметрів розподілу за допомогою виразу

Значення коефіцієнтів наведені в табл. 6.2.

Таблиця 6.2

Значення коефіцієнтів полінома a i (j)

j

0

1

2

a 0

0,78760454

-0,23350401 • 101

0,19935077

a 1

-0,25889486

0,88266373

-0,10402411

a 2

-0,31872153

0,99215448 • 10-1

-0,7659968 • 10-2

a 3

0,45243271 • 10-1

-0,52450713 • 10-1

0,64909123 • 10-2

a 4

-0,27552103 • 10-2

0,62824786 • 10-2

-0,83410484 • 10-2

a 5

0

-0,240757 • 10-3

0,33025782 • 10-2

Крок 6. Визначаються значення ненормованих параметрів розподілу:

(6.7)

Крок 7. Обчислюються значення параметрів розподілу, відповідні вихідного інтервалу [а; b].

Розглянемо приклад використання представленого алгоритму.

Приклад 6.3

Нехай є N = 12 реалізацій випадкової величини X:

х 1 = 1044,29853; х 2 = 199,45718; х 3 = 1719,11262; х 4 = 2817,04650;

х 5 = 836,57545; х 6 = 4750,78613; х 7 = 147,99209; дг8 = 1235,21748;

х 9 = 1297,06719; х10 = 165,10047; х п = 2157,29901; х 12 = 1860,30754.

При цьому апріорно відомо, що нижня межа інтервалу дорівнює нулю.

Потрібно:

  • а) знайти аналітичний вираз щільності розподілу випадкової величини f (x);
  • б) побудувати оцінки функцій розподілу F (x) на інтервалі х = [0; 0,2].

Розв'язання

а) Визначимо значення перших двох моментів розподілу v 1H, v 2H, величину середнього квадратичного відхилення σ і μ2H при різних значеннях σ1 (i = 1,2, ..., 5) і заданому значенні v 1H. Отримані значення представлені у сьомих стовпцях табл. 6.3 і 6.4.

Таблиця 6.3

Обчислені значення початкового моменту розподілу μ 1H

Значення

4,5

5

5,5

6

6,5

1

2

3

4

5

6

7

3,5

-0,09990

0,01250

0,05000

0,18750

0,25000

0,14310

3

0,15000

0,27500

0,38750

0,48125

0,56562

0,45694

2,5

0,47500

0,62500

0,75000

0,87500

0,97500

0,84094

2

0,99416

1,17239

1,33102

1,47620

1,61280

1,43709

1,5

1,968862

0,22222

0,44444

0,66666

0,88888

0,60460

Таблиця 6.4

Обчислені значення початкового моменту розподілу μ 2H

Значення

4,5

5

5,5

6

6,5

3,5

-0,00597

-0,01134

-0,012

-0,0192

-0,02065

-0,01682

3

-0,02772

-0,03423

-0,03898

-0,04209

-0,04434

-0,04136

2,5

-0,0592

-0,06601

-0,06985

-0,07381

-0,07536

-0,07274

2

-0,11286

-0,1183

-0,12146

-0,12321

-0,12414

-0,12282

1,5

-0,21910

-0,22222

-0,22222

-0,22222

-0,22222

-0,22214

Зведемо значення і, відповідні одному і тому ж значенню за різними, у другій - шостий стовпці табл. 6.5.

Результуюча таблиця

Таблиця 6.5

3,5

3

2,5

2

1,5

Інтерпольовані значення

1

2

3

4

5

6

7

μ1H

0,14310

0,45694

0,84094

1,43709

0,60460

0,38019

μ2H

-0,01682

-0,04136

-0,07274

-0,12282

0,22214

-0,03523

За табл. 6.5 за допомогою інтерполяційного полінома Лагранжа четвертого ступеня визначені значення параметрів розподілу, відповідні знайденому значенню. Отримані значення і занесемо в сьомий стовпець табл. 6.5.

За допомогою формул (6.7) визначені ненормовані значення і і масштабуючий параметр

Внаслідок того що за умовою задачі нижня межа інтервалу [a; b] збігається з початком координат, значення ненормованих параметрів розподілу (j = 0, 1, 2) збігаються з шуканими значеннями.

б) Оцінка функції щільності розподілу має вигляд

Проинтегрировав f (x), одержимо інтегральну функцію розподілу ймовірностей появи подій

На рис. 6.3 суцільною лінією показана функція розподілу /'(.г), отримана за допомогою інформаційного підходу, ламаної - емпірична функція розподілу, пунктиром - задана функція розподілу.

Використані на рис. 6.3 дані отримані за допомогою таблиці випадкових чисел (див. Табл. П6.4 в додатку 6) для імітації експоненціального закону розподілу з параметрами λ = 0,5 і інтервалом усічення [0; 2].

Як випливає з рис. 6.3, найменше абсолютне відхилення оцінки емпіричної функції розподілу F (x) від заданої функції розподілу становить 0,09 при х = 0,4. Найвище абсолютне відхилення емпіричної функції розподілу від заданої становить 0,22 при x = 0,80314.

Види теоретичної F (x), емпіричної Fе (x) і заданої Fз (x) функцій розподілу

Рис. 6.3. Види теоретичної F (x), емпіричної F е (x) і заданої F з (x) функцій розподілу

Таким чином, після розгляду трьох кривих, представлених на рис. 6.3, можна зробити висновок про близькість інформаційного та імітаційного методів апроксимації емпіричної функції розподілу даних. Залежно від інтервалу спостереження випадкової величини точність апроксимації різна: для апроксимації емпіричної функції розподілу інформаційний та імітаційний підходи близькі в інтервалі 0,85-0,1, але імітаційний метод простіше реалізувати.

Приклад 6.4

Дано: при випробуваннях N = 35 елементів (нагадаємо, що поняття "елемент" є вельми відносним і залежить від об'єкта дослідження - це може бути ІС, осередок, модуль, блок тощо) після кожної години фіксувалося число відбулися відмов. Результати наведено в табл. 6.6.

Таблиця 6.6

Вихідні дані випробувань і спостережень [20]

Момент часу t i, ч

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Число відмов n (t i), од.

0

3

3

5

8

7

6

2

1

0

Потрібно: знайти емпіричну функцію розподілу відмов (Ефроім) - (failure - відмова) і теоретичну функцію розподілу відмов (ТФРО) - F (t).

Розв'язання

Крок 1. Значення Ефроім обчислимо за формулою

і запишемо результати обчислень у вигляді табл. 6.7.

Таблиця 6.7

Результати обчислень дискретної Ефроім

Момент

часу

t i, ч

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

F * (t i)

0

0,086

0,171

0,314

0,543

0,743

0,914

0,971

1,00

1,00

Крок 2. Побудуємо дискретну функцію F * (t i) за обчисленими значеннями табл. 6.7, використовуючи програму Excel, та відобразимо її на рис. 6.4.

Емпірична функція розподілу відмов Ρ (ti)

Рис. 6.4. Емпірична функція розподілу відмов Ρ (t i)

Крок 3. Проведемо апроксимацію Ефроім і встановимо "зовнішній вигляд" F (t), використовуючи програму Excel, відобразивши її малюнком (рис. 6.5).

Крок 4. Використовуючи метод найменших квадратів П. Л. Чебишева, підберемо алгебраїчну модель для F (t) (рис. 6.6).

Крок 5. Враховуючи, що, за критерієм максимуму квадрата коефіцієнта кореляції max R 2, в якості ТФРО вибираємо F 3 (t).

Теоретична функція розподілу відмов F (t)

Рис. 6.5. Теоретична функція розподілу відмов F (t)

Підбір аналітичної моделі - теоретичної функції розподілу відмов F (t)

Рис. 6.6. Підбір аналітичної моделі - теоретичної функції розподілу відмов F (t) (функція F 3 (t) виділена жирною лінією)

Зауваження. Вдумливому студент} 'з характером дослідника або аспіранту, довічно приреченому на пошук істини і навіть краси (не завжди, до речі, націленої на добру), ми радимо звернути увагу на таку обставину. При строгому розгляді функція F (t), звичайно ж, не є ТФРО, оскільки вона являє собою тільки наближення до істинної ТФРО. Істинність F (t) в даному прикладі є допущенням. Для зацікавлених і з "математичним сверблячкою" читачів радимо звернутися до роботи А. Н. Колмогорова [1].[1]

Резюме

Ключова імовірнісна характеристика надійності визначається функціями розподілу параметрів і показників, що характеризують надійність. Вихідними даними для її оцінки виступають емпіричні значення x 1, ..., x Ν параметрів (показників) надійності, або вибірка випадкових величин. Па практиці може використовуватися багато різних законів розподілу, завдання аналізу полягає в обгрунтованому перетворенні вибіркових даних в конкретну функцію розподілу. Залежно від критерію, використовуваного для перевірки висунутої гіпотези, побудова емпіричної функції розподілу здійснюється за групованим небудь негруппірованним даними. Висування гіпотези про вид функції розподілу не піддається будь-якої формалізації. Вид закону (експонентний, Релея, Вейбулла, Гаусса та ін.) Вибирається за результатами фактичного (розрахункового, візуального) аналізу емпіричної функції розподілу. Оцінки параметрів функції розподілу за вибірковими даними здійснюються за відомим співвідношенням, описаним в літературі. Перевірка висунутої гіпотези про вид функції розподілу проводиться за допомогою гак званих критеріїв згоди. Два найбільш використовуваних критерію: χ2 і критерій Колмогорова. Неможливість застосування традиційних методів математичної статистики для обробки вибірок малого обсягу стимулювала розробку нових статистичних методів, орієнтованих на обробку малого числа спостережень. Для побудови оцінки функції розподілу використовується так званий метод прямокутних вкладів (МПВ). Дослідження властивостей цього методу привели до розробки серії методів, заснованих на використанні функцій вкладів. В основі МПВ - використання апріорної інформації про невідомому розподілі значень параметрів виробів, а також облік випадкового характеру вибірки. Оцінити розподіл по досвідченим даним можна лише з певним ступенем точності. Метою розробки нових статистичних методів є можливо більш повне використання вибіркової інформації про функції розподілу і, отже, отримання оцінок розподілів, як можна більш близьких до істинним. Застосування ентропійного підходу дозволяє отримувати оцінку розподілу на основі лише дослідної інформації.

  • [1] Колмогоров А. Я. Про емпіричному визначенні закону розподілу // Теорія ймовірностей і математична статистика: СБ статей. М .: Наука, 1986. С. 134-141.
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >