Теорема

Матриця відносних ваг має лише два дійсних власних значення: п і 0.

Якщо позначити, то відповідно до теореми рівність (2.5) можна представити у вигляді

(2.9)

Рівність (2.9) - основа для подальшої математичної обробки та інтерпретації експертних оцінок в рамках методу аналізу ієрархій.

На практиці при проведенні експертного оцінювання експертам дуже важко одночасно зіставити властивості всієї групи порівнюваних об'єктів (факторів), яких може бути досить багато, і призначити їм відповідні ваги. Куди легше порівнювати об'єкти попарно, характеризуючи за допомогою якої-небудь шкали оцінок ступінь переваги одного об'єкта над іншим. Зважуючи експертно перевага одного об'єкта над іншим і не утримуючи в пам'яті всі безліч відносин між розглянутими об'єктами, ми маємо право розраховувати на те, що експертне оцінювання буде більш обґрунтованим і коректним. Схема попарного порівняння об'єктів широко використовується в різних методах експертного оцінювання і призводить до побудови матриці парних порівнянь

(2.10)

Заповнюючи клітини цієї матриці, при парному порівнянні експерт не знає всього набору чисел, тобто ваг об'єктів. Його завдання якраз і полягає в тому, щоб визначити їх згодом. При парному порівнянні матриця заповнюється числами, що характеризують відносне перевагу (важливість, вага) об'єкта A i над об'єктом А j в той час як власні ваги цих об'єктів w i і w j поки ще не визначені. Іншими словами, a ij призначається експертом, а ваги w i і w j, що утворюють при діленні один на одного величину а підлягають подальшому визначенням.

Для призначення чисел необхідно домовитися про шкалою, за якою буде оцінюватися перевага одного об'єкта над іншим при їх попарному порівнянні. Для цілей експертного оцінювання приймемо 9-бальну шкалу, запропоновану автором методу аналізу ієрархій Томасом Сааті (табл. 2.1).

Таблиця 2.1

Шкала відносної важливості

Інтенсивність відносної важливості, бал

Визначення

Пояснення

1

Рівна важливість

Важливість об'єктів (факторів) A i і A j однакова

3

Помірковане перевага одного над іншим

Досвід і судження дають легке перевагу одному об'єкту (фактору) над іншим

5

Значне або сильне перевага

Наявні дані свідчать про помітне перевазі A i над A j

7

Дуже сильне перевага

Перевага об'єкта (фактора) A i над A j очевидно

9

Абсолютна перевага

Очевидність переваги A i над A j підтверджується всіма наявними ознаками

2, 4, 6, 8

Проміжні рішення між двома сусідніми судженнями

Застосовуються в компромісних випадках

Шкала відносної важливості містить, очевидно, і всі зворотні числа 1/9, 1/7, 1/5, 1/3 і проміжні значення 1/8, 1/6, 1/4, 1/2.

Матриця парних порівнянь заповнюється, як правило, наступним чином. Об'єкт A 1 порівнюють з усіма іншими A 2, ..., A n, заповнюючи послідовно перший рядок матриці. Потім об'єкт A 2 порівнюють з усіма іншими, заповнюючи другий рядок числами а-ф обумовленими за шкалою відносної важливості і т.д. Якщо вага об'єкта A i дорівнює вазі об'єкта A j, то згідно шкалі а ij = 1. Якщо вага об'єкта A i більше ваги об'єкта A j, то у відповідності зі шкалою експерт визначає ступінь переваги, виражену в балах, причому. Якщо навпаки вага об'єкта А, менше ваги об'єкта А j, то за шкалою задається бальна оцінка.

За правилами заповнення матриць парних порівнянь повинні виконуватися умови:

для всіх i і j, так як всі бальні оцінки позитивні;

для всіх

Елементи матриці А володіють зворотного симетрією, а саме, інакше кажучи, якщо перевагу об'єкта А; над об'єктом A j оцінюється за шкалою, наприклад в 5 балів і, то зворотне зіставлення об'єкта A j з A i повинно автоматично давати оцінку

Очевидно, що в силу зворотної симетричності при заповненні матриці парних порівнянь зручно знайти тільки елементи, які стоять вище діагоналі. Діагональні елементи дорівнюють одиниці, а елементи під діагоналлю в силу зворотної симетричності визначаються автоматично.

Необхідно звернути увагу на те, що матриця парних порівнянь має всі властивості матриці відносних ваг у схемі ідеального порівняння, крім четвертого. Таким чином, вона не володіє, взагалі кажучи, властивістю спільності. Це, очевидно, відбувається через те, що експерт не знає точно ваги об'єктів, а оперує лише їх відносинами

Можна знайти максимальне речовий власне значення і власний вектор w * матриці парних порівнянь. Взагалі кажучи, і w * не збігаються з відповідним власним значенням λmax = п і власним вектором да матриці відносних ваг у схемі ідеального порівняння. Можна довести, що в загальному випадку має місце нерівність, причому рівність досягається тоді і тільки тоді, коли матриця A 'є спільною, тобто виконується четверте властивість

Ідея Т. Сааті полягає в тому, що коефіцієнти матриці парних порівнянь А * задані порівняно точно, тобто відхилення а ij від щирих відносин ваг незначні. Тоді можна сподіватися, що і буде близько до п. Тут використовується відоме положення лінійної алгебри, згідно з яким малих відхилень від вихідних значень елементів матриці відповідає мале відхилення її власних значень.

Визначивши одним з методів лінійної алгебри, можна знайти і вектор w * який буде мало відрізнятися від "істинного" вектора так. Вектор w * визначається, наприклад із системи однорідних рівнянь

(2.11)

Вектор w * задовольняє умові нормування

(2.12)

як доводиться в лінійній алгебрі, завжди існує і визначається однозначно.

Застосування запропонованого підходу буде виправдано, якщо реальна ситуація виявиться близькою до ідеальної. В якості міри відхилення реальної схеми від ідеальної використовується індекс спільності, що визначається за формулою

(2.13)

Якщо I С <0,2, то вважається, що розбіжність між ідеальною і реальною схемами порівняння знаходиться в допустимих межах і отриманим результатам можна довіряти. Якщо ця умова не виконується, слід переглянути задачу, уточнити експертні оцінки і заново сформувати матрицю парних порівнянь А

В окремому випадку п = 2 характеристичне рівняння будь назад симетричною позитивної матриці з одиничними діагональними членами буде мати вигляд

або, розкриваючи детермінант,

Останнє рівняння має два корені, які дорівнюють 0 і 2. Таким чином, в цьому окремому випадку завжди, тобто завжди має місце повна узгодженість (), а значить, і повний збіг реальної та ідеальної схем порівняння.

Розглянемо основні етапи визначення ваг об'єктів відповідно до методом Т. Сааті.

  • • Побудувати матрицю парних порівнянь А * задовольняє першим трьом з перерахованих вище вимог.
  • • Знайти максимальне власне значення для матриці A * за допомогою одного з відомих математичних чисельних методів. Наближені методи визначення власних значень і векторів, які не потребують використання ЕОМ, будуть описані в наступному розділі. Перевірити, що.
  • • Визначити власний вектор w * виходячи з рівняння (2.5) або, що зручніше, наближеним способом, який буде описаний нижче.
  • • Виконати нормування вектора w *.
  • • Обчислити індекс узгодженості за формулою (2.7). Переконатися, що. У тому випадку, якщо ця умова не виконується, необхідно переосмислити завдання, задати інші експертні оцінки, заново складаючи матрицю парних порівнянь. Вектор w * є остаточним рішенням завдання.

Компоненти вектора w * наближено визначають ваги (значимість, інтенсивність) порівнюваних об'єктів (факторів). Очевидно, що великі за величиною компоненти відповідають більш важливому (значимого) з погляду експерта фактору.

У книзі Т. Сааті пропонуються наступні наближені способи визначення власних значень і власних векторів матриці парних порівнянь.

1. Алгоритм наближеного визначення власного вектора матриці А *.

Якщо є матриця парних порівнянь, то компонента w i її власного вектора може бути наближено обчислена за формулою

(2.14)

  • 2. Алгоритм наближеного обчислення власного значення матриці А *:
    • а) знайти суму кожного стовпця матриці А *:

  • б) помножити суму кожного стовпця S j на відповідну за номером компоненту w j нормалізованого власного вектора;
  • в) визначити
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >