Інтуїционістськая і багатозначна логіка

«Немає пророка у своїй вітчизні», - говорить старе прислів'я. Ті, кого ми зараз називаємо класиками, колись стояли нарівні зі своїми сучасниками, і останні не скупилися на критику.

Не встигла класична логіка скластися, зміцніти і проявити свої потенції, як вона зробилася об'єктом суворої критики, що йде з різних сторін. Одними з найбільш активних у цьому відношенні були іптуіціоністи на чолі з голландським математиком Л. Брауера.

Основні ідеї інтуїционізма

Джерело математики, вважав Брауер, - фундаментальна математична інтуїція. Не всі звичайні логічні принципи прийнятні для неї. Так, зокрема, йде справа з законом виключеного третього, мовцем, що або саме твердження, або сто заперечення істинно. Цей закон історично виник в міркуваннях про кінцевих множинах об'єктів. Але потім він був необгрунтовано поширений також на нескінченні множини. Коли безліч є кінцевим, ми можемо вирішити, чи все входять до нього об'єкти мають деяким властивістю, перевіривши один за одним всі ці об'єкти. Але для нескінченних множин така перевірка неможлива.

Припустимо, що розглядаючи кінцевий набір чисел, ми довели, що не всі вони парних. Звідси за законом виключеного третього випливає, що, принаймні, одне з них непарній. При цьому твердження про існування такого числа можна підтвердити, пред'явивши це число. Але якби розглядається безліч чисел було нескінченним, висновок про існування серед них хоча б одного непарного числа виявилося б непроверяемим. Тим самим залишилося б незрозумілим, що означає в цьому випадку саме слово «існування».

За висловом німецького математика Г. Вейля, докази існування, що спираються на закон виключеного третього, сповіщають світ про те, що скарб існує, чи не вказуючи при цьому місце перебування та не даючи можливості скористатися ним.

Таким чином, на переконання інтуіціоністов, закон виключеного третього не є універсальним, однаково застосовним в міркуваннях про будь-яких об'єктах. Як не без іронії говорить Вейль, він «може бути вірним для всемогутнього і всезнаючого істоти, як би оглядає єдиним поглядом нескінченну послідовність натуральних чисел, але не для людської логіки».

Висуваючи на перший план математичну інтуїцію, інтуіціоністи не надавали великого значення систематизації логічних правил. Тільки в 1930 р учень Брауера А. Гейтинг опублікував роботу з викладом особливої інтуіціоністской логіки. У цій логіці не діє закон виключеного третього, безсумнівний для класичної логіки. Відкидається також ряд інших законів, що дозволяють доводити існування об'єктів, які не можна побудувати або обчислити. У число відкиданих потрапляють, зокрема, закон зняття подвійного заперечення («Якщо невірно, що не-а, то Л») і закон приведення до абсурду, що дає право стверджувати, що математичний об'єкт існує, якщо припущення про його неіснування призводить до протиріччя.

Надалі ідеї, що стосуються обмеженої приложимости закону виключеного третього і близьких йому способів математичного докази, були розвинені російськими математиками А. Н. Колмогоровим, В. А. Гливенко, А. А. Марковим і ін. В результаті переосмислення основних передумов інтуіціоністской логіки виникла конструктивна логіка, також вважає неправомірним перенесення ряду логічних принципів, застосовних в міркуваннях про кінцевих множинах, на область нескінченних множин.

 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >