Навігація
Головна
 
Головна arrow Логіка arrow Логіка
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >

Парадокс Рассела

Самим знаменитим з відкритих вже у XX ст. парадоксів є антиномія, виявлена Б. Расселом і описана ним у листі до Г. Фреге. Цю ж антиномію обговорювали одночасно в Геттінгені німецькі математики 3. Цермело і Д. Гільберт.

Ідея носилася в повітрі, і се поява справила враження бомби, що розірвалася. Цей парадокс викликав в математиці, на думку Гільберта, ефект повної катастрофи. Нависла загроза над найпростішими і важливими логічними методами, самими звичайними і корисними поняттями.

Відразу ж стадо очевидним, що ні в логіці, ні в математиці за всю довгу історію їх існування не було вироблено рішуче нічого, що могло б послужити основою для усунення антиномії. Явно виявився необхідним відхід від звичних способів мислення. Але з якого місця і в якому напрямку? Наскільки радикальним повинен був стати відмова від усталених способів теоретизування?

З подальшим дослідженням антиномії переконання в необхідності принципово нового підходу неухильно зростала. Через півстоліття після її відкриття фахівці з підстав логіки і математики Л. Френкель та І. Бар-Хиллел вже без всяких застережень стверджували: «Ми вважаємо, що будь-які спроби вийти з положення за допомогою традиційних (тобто мали ходіння до XX сторіччя) способів мислення, досі незмінно провалюються, свідомо недостатні для цієї мети ».

Сучасний американський логік X. Каррі писав трохи пізніше про цей феномен: «У термінах логіки, відомої в XIX ст., Положення просто не піддавалося поясненню, хоча, звичайно, в наш освічений вік можуть знайтися люди, які побачать (або подумають, що побачать ), в чому ж полягає помилка ».

Парадокс Рассела в первісній його формі пов'язаний з поняттям множини, або класу.

Можна говорити про множини різних об'єктів, наприклад про безліч всіх людей або про безліч натуральних чисел. Елементом першої множини буде всякий окрема людина, елементом другого - кожне натуральне число. Допустимо також самі безлічі розглядати як деякі об'єкти і говорити про множини множин. Можна ввести навіть такі поняття, як множина всіх множин або безліч всіх понять.

Безліч звичайних множин

Щодо будь-якого довільно взятого безлічі представляється осмисленим запитати, є воно своїм власним елементом чи ні. Множини, що не містять себе в якості елемента, назвемо звичайними. Наприклад, безліч всіх людей, не є людиною, так само як безліч атомів - це не атом. Незвичайними будуть множини, є власними елементами. Наприклад, безліч, що об'єднує всі множини, являє собою безліч і, отже, містить само себе в якості елемента.

Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки воно безліч, про нього теж можна питати, звичайне воно чи незвичайне. Відповідь, проте, виявляється бентежить. Якщо воно звичайне, то, згідно своїм визначенням, повинно містити само себе в якості елемента, оскільки містить всі звичайні множини. Але це означає, що воно є незвичайним безліччю. Допущення, що наше безліч являє собою звичайне безліч, приводить, таким чином, до протиріччя. Значить, воно не може бути звичайним. З іншого боку, воно не може бути також незвичайним: незвичайне безліч містить само себе в якості елемента, а елементами нашого безлічі є тільки звичайні множини. У підсумку приходимо до висновку, що безліч всіх звичайних множин не може бути ні звичайним, пі незвичайним безліччю.

Отже, множина всіх множин, які не є власними елементами, є свій елемент в тому і тільки тому випадку, коли воно не є таким елементом. Це явне протиріччя. І отримано воно на основі самих правдоподібних припущень і за допомогою безперечних ніби кроків.

Протиріччя говорить про те, що такого безлічі просто не існує. Але чому воно не може існувати? Адже воно складається з об'єктів, що задовольняють чітко певній умові, причому саме умова не здається якимось винятковим або неясним. Якщо настільки просто і ясно заданий безліч не може існувати, то в чому, власне, полягає відмінність між можливими і неможливими множинами? Висновок про неіснування розглянутого безлічі звучить несподівано і вселяє неспокій. Він робить наше загальне поняття безлічі аморфним і хаотичним, і немає гарантії, що воно не здатне породити якісь нові парадокси.

Парадокс Рассела чудовий своєю крайней спільністю. Для його побудови не потрібні які-небудь складні технічні поняття, як у випадку деяких інших парадоксів, досить понять «безліч» і «елемент множини». Але ця простота якраз і говорить про його фундаментальності: він зачіпає найглибші підстави наших міркувань про множини, оскільки говорить не про якихось спеціальних випадках, а про множини взагалі.

Інші варіанти парадоксу

Парадокс Рассела не має специфічно математичного характеру. У ньому використовується поняття множини, але не зачіпаються якісь особливі, пов'язані саме з математикою його властивості. Це стає очевидним, якщо переформулювати парадокс в чисто логічних термінах.

Про кожному властивості можна, по всій вірогідності, питати, пріложімо воно до самого себе чи ні. Властивість бути гарячим, наприклад, непріложімо до самого себе, оскільки саме властивість не є гарячим; властивість бути конкретним теж нс відноситься до самого себе, бо це абстрактна властивість. Але ось властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, застосовно до самого себе. Назвемо ці непридатні до самих себе властивості непріложімо. Чи застосовно властивість бути незастосовні до самого себе? Виявляється, непріложімо є непріложімо тільки в тому випадку, якщо вона не є такою. Це, звичайно, парадоксально.

Логічна, що стосується властивостей різновид антиномії Рассела, настільки ж парадоксальна, як і математична, що відноситься до множинам, її різновид.

Рассел запропонував також наступний популярний варіант відкритого ним парадоксу.

Уявімо, що рада одного села так визначив обов'язки перукаря: голити всіх чоловіків поселення, які не голяться самі, і тільки цих чоловіків. Чи повинен він голити самого себе? Якщо так, то він буде ставитися до тих, хто голиться сам, а тих, хто голиться сам, він не повинен голити. Якщо ні, він буде належати до тих, хто нс голиться сам, і, значить, він повинен буде голити себе. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що цей перукар голить себе в тому і тільки тому випадку, коли він не голить себе. Це, зрозуміло, неможливо.

Міркування про перукаря спирається на припущення, що такий перукар існує. Отримане протиріччя означає, що це допущення ложно, і немає такого жителя села, який голив би всіх тих і лише тих її жителів, котрі не голяться самі.

Обов'язки перукар не здаються на перший погляд суперечливими, тому висновок, що його не може бути, звучить дещо несподівано. Але цей висновок не є все-таки парадоксальним. Умова, якому повинен задовольняти сільський брадобрей, насправді внутрішньо суперечливе і, отже, нездійсненно. Подібного перукаря не може бути в селі з тієї ж причини, з якої в ній немає людини, яка була б старше самого себе або який народився б до свого народження.

Міркування про перукаря може бути названо псевдопарадокси. За своїм ходу воно строго аналогічно парадоксу Рассела і цим цікаво. Але воно все-таки не є справжнім парадоксом.

 
Якщо Ви помітили помилку в тексті позначте слово та натисніть Shift + Enter
< Попередня   ЗМІСТ   Наступна >
 
Дисципліни
Агропромисловість
Аудит та Бухоблік
Банківська справа
БЖД
Географія
Документознавство
Екологія
Економіка
Етика та Естетика
Журналістика
Інвестування
Інформатика
Історія
Культурологія
Література
Логіка
Логістика
Маркетинг
Медицина
Нерухомість
Менеджмент
Педагогіка
Політологія
Політекономія
Право
Природознавство
Психологія
Релігієзнавство
Риторика
Соціологія
Статистика
Техніка
Страхова справа
Товарознавство
Туризм
Філософія
Фінанси
Пошук