Технології рішення систем економетричних рівнянь

Рішення систем рівнянь за допомогою методу зворотної матриці. Система лінійних рівнянь може бути представлена в матричному вигляді - А * Х = В. У випадку, коли число рівнянь т в системі дорівнює числу невідомих п, рішення системи можна знайти методом зворотної матриці за допомогою формули X = А -1 * В, де А -1 - матриця, обернена до А. Рішення систем лінійних рівнянь методом оберненої матриці розглянемо на наступному прикладі.

Приклад. 9.1. Вирішити систему рівнянь, задану матрицями і.

Рішення

  • • Попередньо назвемо діапазони розташування елементів обох матриць іменами А і В.
  • • Виділимо область з розмірністю в два рядки і один стовпець для приміщення результату рішення системи лінійних рівнянь.
  • • У виділений діапазон введемо формулу:

• Натиснемо комбінацію клавіш Ctrl + Shift + Enter, у виділеному діапазоні буде отриманий результат (рис. 9.9).

Рішення систем рівнянь за допомогою методу оберненої матриці

Мал. 9.9. Рішення систем рівнянь за допомогою методу оберненої матриці

Рішення систем лінійних рівнянь методом найменших квадратів. Рішення системи лінійних рівнянь, коли кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих (т = п), було розглянуто вище. Однак це є окремим випадком, і можливі випадки, коли m не дорівнює п, а саме: т> п, т <п.

У випадку, коли m <п і система лінійних рівнянь є спільною, вона не визначена і має нескінченну безліч рішень.

Якщо т> п і система лінійних рівнянь сумісна, то матриця А має принаймні mn лінійно незалежних рядків. У даному випадку рішення можна отримати вибором п будь-яких лінійно незалежних рівнянь. Використавши відому нам формулу X = А -1 * В, можна знайти рішення даної системи, але на практиці застосовується більш загальний підхід - метод найменших квадратів. У цьому випадку обидві частини рівняння множаться на добуток матриць A T * А (A Т - транспонована матриця А). Потім обидві частини множаться на вираз T * А) -1, за умови що це матриця існує і система визначена. Після деяких математичних перетворень формула вирішення системи лінійних рівнянь методом найменших квадратів прийме наступний вигляд:

Технологію розв'язання систем лінійних рівнянь методом найменших квадратів розглянемо на наступному прикладі.

Приклад 9.2. Вирішити систему лінійних рівнянь

Рішення

  • • Введемо значення елементів матриць А і В у діапазони робочого аркуша, позначимо ці області іменами відповідно А і В.
  • • Транспоніруем матрицю А, для чого виділимо діапазон комірок розмірністю 3 '2 і за допомогою формули = ТРАНСП (А) обчислимо транспоновану матрицю А T.
  • • Далі обчислимо твір А T * В за допомогою функції МУМНОЖ T; В), попередньо перевіривши умова множення матриць.
  • • Наступним кроком є обчислення твори матриць А Т * А.
  • • Далі обчислимо матрицю, зворотну матриці, отриманої в ході виконання попереднього пункту, використавши вбудовану функцію МОБР А T * А).
  • • Останнім кроком у даному прикладі є обчислення твори матриці (відповідно до правил множення матриць), отриманої в ході виконання попереднього пункту, і матриці, отриманої в ході виконання пункту 3, і так ми отримаємо вираз МУМНОЖ (МОБР T * А) ; МУМНОЖ T; В)), що і буде рішенням даної системи лінійних рівнянь (рис. 9.10).

Рішення систем лінійних рівнянь методом найменших квадратів

Мал. 9.10. Рішення систем лінійних рівнянь методом найменших квадратів

Інструменти для вирішення складних аналітичних задач

При вирішенні різних фінансово-економічних завдань часто доводиться займатися проблемою підбору одного значення шляхом зміни іншого. Для цієї мети вельми ефективний інструмент MS Excel "Підбір параметра". Даний інструмент є таким засобом вирішення завдань аналізу даних, коли шляхом змін (перебору) значення одного з параметрів досягається задане значення досліджуваної функції (критерію оптимальності). Цей інструмент відноситься до засобів аналізу "що якщо".

Щоб знайти значення параметра, яке задовольняє встановленому значенню критерію оптимальності, необхідно активізувати формулу оптимизируемой функції, потім на вкладці Дані у групі Робота з даними натиснути на кнопку Аналіз "що-якщо" (рис. 9.11).

Робота з даними (Аналіз

Мал. 9.11. Робота з даними (Аналіз "що якщо")

У діалоговому вікні Підбір параметра (рис. 9.12) необхідно встановити:

  • • посилання на комірку з розрахунковою формулою (поле Встановити в осередку);
  • • передбачуване значення критерію оптимальності в якості приватного екстремуму (нулі Значення);
  • • посилання на комірку із змінним параметром (иоле Змінюючи значення комірки).

Після цього натиснути ОК.

Вікно Підбір параметра

Мал. 9.12. Вікно Підбір параметра

Приклад 9.3. Необхідно визначити, яким повинен бути курс долара, щоб на 1637 руб. можна було б придбати 60 доларів.

Рішення

Складаємо рівняння виду Х * 60 = +1637, де X - шуканий курс долара.

У MS Excel будуємо модель:

  • • осередок A2 повинна містити значення курсу долара (попередньо осередок порожня);
  • • в осередок В2 вводимо формулу: = А2 * 60, в результаті отримуємо 0;
  • • виконуємо команду: вкладка Дані / група Робота з даними / кнопка Аналіз "що якщо" / Підбір параметра.

У вікні вказуємо: встановити в комірці В2 значення +1637, змінюючи значення комірки А2 (див. Рис. 9.12).

У результаті одержимо значення 27,2833 (рис. 9.13).

Результат рішення прикладу 9.3

Мал. 9.13. Результат рішення прикладу 9.3

Приклад 9.4. Розрахувати прибуток за даними і формулами таблиці (рис. 9.14). За допомогою підбору параметра визначити, яку кількість виробів потрібно реалізувати, щоб отримати прибуток 50000 руб.

Таблиця

Мал. 9.14. Таблиця "Розрахунок прибутку"

Рішення

Встановлюємо курсор в осередок В7.

Виконуємо команду: вкладка Дані / група Робота з даними / кнопка Аналіз "що якщо" / Підбір параметра.

У вікні вказуємо: встановити в осередку В7 значення 50000, змінюючи значення комірки ВЗ (рис. 9.15).

У результаті отримаємо таблицю і шукане значення 233,43 (рис. 9.16).

Підбір параметра для прикладу 9.4

Мал. 9.15. Підбір параметра для прикладу 9.4

Таблиця

Мал. 9.16. Таблиця "Розрахунок прибутку" після підбору параметра

Дієвість розглянутого інструменту "Підбір параметра" при вирішенні завдань, коли цікавить не конкретний результат, а потрібно знайти оптимальне, оптимальне рішення (наприклад, що дає максимально можливий прибуток при мінімальних витратах), що задовольнить при цьому цілого ряду додаткових умов на значення використовуваних параметрів, істотно обмежена . У цьому випадку вдаються до допомоги надбудови, званої "Пошук рішення". Її застосовують для вирішення різних рівнянь і систем рівнянь, задач лінійного та нелінійного програмування, а також для вирішення завдань оптимізації, визначення екстремумів функцій в MS Excel.

Щоб скористатися надбудовою "Пошук рішення", її необхідно встановити і активувати. Для цього виконується команда: вкладка Файл / розділ Параметри / Надбудови / Перейти. У діалоговому вікні Надбудови (рис. 9.17) слід встановити прапорець в полі Пошук рішення і натиснути кнопку ОК.

На вкладці Дані у групі Аналіз з'явиться кнопка для надбудови "Пошук рішення" (рис. 9.18).

Для того щоб звернутися до надбудови "Пошук рішення" для знаходження оптимальних значень функції F (x), необхідно визначитися з термінологією. Модель оптимізації складається з трьох частин: цільова осередок, змінювані комірки та обмеження (рис. 9.19).

Діалогове вікно Надбудови

Мал. 9.17. Діалогове вікно Надбудови

Вкладка Дані / група Аналіз / кнопка Пошук рішення

Мал. 9.18. Вкладка Дані / група Аналіз / кнопка Пошук рішення

Вікно Параметри пошуку рішення

Мал. 9.19. Вікно Параметри пошуку рішення

Завдання, які можна вирішувати за допомогою інструменту "Пошук рішення", в загальній постановці формулюються так:

Знайти

такі, що

при обмеженнях

Цільова осередок - це мета. У цьому осередку поміщається формула, що описує цільову функцію. Потрібно отримати або мінімальне, або максимальне, або конкретне значення цільової осередки.

Змінювані осередку - це осередки електронної таблиці, які можна змінювати або налаштовувати, щоб оптимізувати цільову комірку. У цих комірках перебувають у вигляді констант чи формул значення, від яких залежить результат цільової осередки. Можна задати до 200 осередків змінних.

Обмеження - умови, яким повинні задовольняти значення змінюваних осередків. Обмеження складається з трьох компонентів: посилання осередок, оператора порівняння і значення обмеження. Обмеження не є обов'язковими. Правильне формулювання обмежень є найбільш відповідальною частиною при формуванні моделі.

Інструмент "Пошук рішень" може застосовуватися для вирішення завдань, які включають багато змінюваних осередків, і допомагає знайти комбінацію змінних, які максимізують або мінімізують значення в цільовій комірці. Він також дозволяє вказати одне або декілька обмежень, які повинні виконуватися при пошуку рішень.

Перед знаходженням рішення необхідно вибрати метод рішення. MS Excel +2010 пропонує три методи: пошук рішення нелінійних задач методом узагальненого понижуючого градієнта (ОЗУ), пошук рішення лінійних задач симплекс-методом, еволюційний пошук рішення [1].[1]

Додатково можна вказати умови розв'язання задачі, що визначають відносну похибку, час обчислень, граничне число ітерацій і ін. Ці значення вказують, натиснувши на кнопку Параметри у вікні Параметри пошуку рішення (див. Рис. 9.19). Значення і стану елементів, заданих в параметрах за замовчуванням, підходять для вирішення більшості завдань.

Після заповнення діалогового вікна Параметри пошуку рішення слід натиснути кнопку Знайти рішення. При знаходженні оптимального рішення на екран виводиться діалогове вікно Результати пошуку рішення. Значення, які відображаються в робочому аркуші, являють собою оптимальне рішення задачі (рис. 9.20). Час рішення задачі залежить від кількості змінюваних осередків, а також розміру та складності моделі.

Вікно Результати пошуку рішення

Мал. 9.20. Вікно Результати пошуку рішення

Щоб створити звіт, заснований на знайденому рішенні, виберіть тип звіту в нулі Звіти і натисніть кнопку ОК. Звіт буде поміщений на новий аркуш книги. Якщо рішення нс знайдено, будуть доступні тільки деякі звіти або вони взагалі не будуть доступні.

Звіт Результати. Використовується для створення звіту, що складається з цільової осередку і списку впливають осередків моделі, їх вихідних і кінцевих значень, а також формул обмежень і додаткових відомостей про накладені обмеження.

Звіт Стійкість. Використовується для створення звіту, що містить відомості про чутливість рішення до малих змін у формулі (поле Оптимізувати цільову функцію діалогового вікна Параметри пошуку рішення) або в формулах обмежень. Такий звіт не створюється для моделей, значення в яких обмежені безліччю цілих чисел.

Звіт Межі. Використовується для створення звіту, що складається з цільової осередку і списку впливають осередків моделі, їх значень, а також нижніх і верхніх меж. Такий звіт не створюється для моделей, значення в яких обмежені безліччю цілих чисел.

Щоб зберегти значення, поміщені в осередок для змінної рішення в якості сценарію, який можна буде відобразити пізніше, натисніть кнопку Зберегти сценарій в діалоговому вікні Результати пошуку рішення, а потім введіть ім'я цього сценарію в поле Назва сценарію.

Приклад 9.5 (застосування інструменту "Пошук рішення" для розв'язання систем лінійних рівнянь). Нехай дана наступна система лінійних рівнянь:

Вирішити дану систему за допомогою інструменту "Пошук рішення".

Рішення

Випишемо основну матрицю системи і вектор вільних членів.

Визначимо область для змінних х, у і z.

Виконаємо рішення системи лінійних рівнянь з використанням відповідних областей змінних.

Відобразивши інструмент "Пошук рішення", одне з рівнянь системи представимо у якості цільової функції, а інші рівняння системи розмістимо в області обмежень.

Область розташування змінних (x, у, z) виділимо в області змінюваних осередків в інструменті "Пошук рішення" і знайдемо рішення даної системи (рис. 9.21).

Рішення систем лінійних рівнянь за допомогою інструменту

Мал. 9.21. Рішення систем лінійних рівнянь за допомогою інструменту "Пошук рішення"

  • [1] Для отримання додаткових відомостей про ці методи див. Матеріали сайту solver.com
 
< Попер   ЗМІСТ   Наст >